122 Karl Buhek, 



Hieraus folgt, dass man die Kegelschnitte H„ auch erhiilt, wenn man durch die sechs Punkte, in denen die 

 C'urven f des Büschels ^(-J^+ÄXW = die «I»,, noch schneiden, stets den Kegelschnitt legt. Derselbe schneidet 

 dann <1> noch in dem Paar nv. Durch den Punkt n geht also der Kegelschnitt H„ des Systems, welcher auch 

 den Punkt v entluält und mittels des Quadrupels (h) auf 9^ bestimmt wird, in welchem <f„ den e„ schneidet. 

 Es geht aber durch n noch ein zweiter Kegelschnitt 0„. des Systems, der ein anderes Paar n'v' enthält, und 

 der auf die eben angegebene Art erhalten wird, indem dieCurve des Büschels ylB^+XA'H,, = 0, welche durch 

 n geht, die <P in einer Gruppe (IC) von sechs Punkten schneidet, zu der u gehört, und welche den Kegelschnitt 

 W„. bestimmt. 



Durch einen Punkt von <I> gehen also wenigstens zwei Kegelschnitte des Systems, niindicli (-)„ und (-»„■, von 

 denen der erstere auch v enthält, der letztere aber ein Paar m'v' aus <t> ausschneidet, das von «v ver- 

 schieden ist. 



Wir wollen nun zeigen, dass das System der W auch in der That blos den Iudex 2 besitzt. 

 Die Kegelschnitte (-) hüllen eine Enveloppe ein, und zwar wird ein Kegelschnitt %„, von dem benachbarten 

 (")'„ in einem Quadrupel [a] getroffen, in welchem f)„ die Enveloppe berührt. Wir haben aber gezeigt, dass 

 die Curve fax welche das Paar xS, aus <I> ausschneidet, 0^ in dem Quadrupel {£) trifft, welches mit .rf den 0^ 

 bestimmt. Die Curve y,,« des Büschels, welche also <I) in «« berüiirt, trifft mithin 0„ in dem erwähnten Qua- 

 drupel \a\. Man erhält daher die Quadrupel [x] auf der Enveloppe des Systems der H,, wenn man 0^ mit 

 der Curve ^.„ schneidet, die durch die Gruppe [K) und (/ geht und *!> in xE, berührt. Offenbar erhält man die- 

 selben Quadrupel, wenn man an Stelle von y^^ die Curven y'.„ benützt, welche durch {K') und d gehen und <I> 

 in icC berühren. Da sich nun die Curven y',,, und ijj^., ausser in (/ und xl nur noch in dem Quadrupel [x\ treffen, 

 so kann man diese Quadrupel auf der Enveloppe und mithin die Enveloppe selbst dadurch erhalten, dass man 

 x'E die Curve O durchlaufen lässt und den Ort der vier noch fehlenden Schnittpunkte der Curven <f^^ und f'^^ 

 bestimmt. 



Zu diesem Behufe wollen wir zeigen, dass die Curven y.„., welche durch die 7 Punkt {IC) und (/ gehen 

 und O in x^ berühren, ein System vom Index 2 bilden. Das lineare Netz der Curven f, welche durch (/ und 

 {IC) gehen, schneidet * in Gruppen von vier Punkten, die stets Paare xt, yn von r/^' sind. Denn wir sahen, 

 dass durch acc ein Büschel dieser Curven geht, welcher die g'-^''' aus <I» ausschneidet, also geht durch x^ eine 

 bestimmte dieses Büschels. Dann geht aber durch x^, {IC) und d wieder ein Büschel von Curven y, welcher 

 die (/f') ausschneidet, da eine f das Paar «« enthält, also geht eine bestimmte durch ijri. Durch {IC) d, x, y ist 

 aber stets eine uud nur eine ^ bestimmt. Denn würde ein Büschel durch diese Punkte hindurch gehen, so 

 würde derselbe auf *\> eine (/^'' ausschneiden, die von der durch die Strahlen von d bestimmten verschieden 

 wäre, was unmöglich ist. Legt man also durch x, ij die Curve des linearen Netzes, so geht sie auch durch '£. 

 uud -n. 



Sei nun t ein willkürlicher Punkt der Ebene, so geht durch denselben ein Büschel von Curven y. Die- 

 selben schneiden <I> in den Paaren aa, bß auf den Strahlen A, B von d, und diese Strahlenpaare bilden 

 eine quadratische Involution. Denn seien (p^i, fa'i/ zwei Curven des Büschels durch t, welche die Paare 

 auf den Strahlen AB, A' B' aus «1> ausschneiden, so bestimme mau durch die zwei Strahlenpanre AB, A' B' 

 eine quadratische Strahleninvolution und beziehe ihre Paare projectivisch auf die Curven y des Büschels 

 durch t; so dass den Paaren AB, A' B' die Curven <f„h, f„nh entsprechen. Als drittes Paar entsprechender 

 Curven ordne man dem Strahl dt die in diese Gerade und den Kegelschnitt K, durch {K') zerfallende 

 Curve 3''-''' Ordnung zu. Die Strahleninvolution und der zu ihr projcctivische Büschel von Curven 3'"' Ord- 

 nung erzeugen zusammen eine Curve 5'"' Ordnung, die den Strahl dt als Theil enthält. Der Rest, eine Curve 

 4t<='- Ordnung, hat in d noch einen Doppelpunkt, geht durch {K) sowie aa; bß, a'cc', b' ß' auf <1> und muss 

 daher mit <I> identisch sein. Die Involution, welche durch die zwei Paare AB , Ä B' bestimmt ist, hat nun 

 zwei Doppelstrahlen und diese schneiden <I> je in einem Paare, in welchem je eine Curve des Büsciiels die 

 tl> berührt. 



Durch t gehen mithin zwei Curven f, welche <I) in je einem Paar der (jf^'^ berühren. 



