über Citrve» 4'"' Onhimu/ ro»/ Geschlechte Zwei. 123 



Die Curven y^^ sowie y'^^, welche durcli (Ä), rcsp. {K') und d g-eben und <I> in xk, berühren, bilden daher 

 ein System vom Index 2, und sind durch die Paare xS. von <I> beide Systeme auf einander ein-eindeutig 

 bezogen. Ihr Erzengniss ist mithin von der 2.3 + 2.3 = 12*'*° Ordnung. Zu diesem Erzeugnisse zählt <I) dop- 

 pelt, also ist der Rest eine Curve 4'«'' Ordnung fi',. Da wir nun sahen, dass der Ort der Schnittpunkte 

 der Curven ^'' und (f''"', die nicbt auf <1> liegen, die Enveloppe des Systems der Kegelscbnitte ist, so 

 ersehen wir, doss die Enveloppe des Systems der H eine (Jurvc 4''"'' Ordnung ß\ ist, und dass mithin 

 der Index des Systems der Kegelschnitte 2 sein nuiss. lliemit ist die im Eingange aufgestellte Behauptung 

 erwiesen. 



Um dieses System der H und damit auch ^^ zu bestimmen, hatten wir die Wahl zweier Kegelschnitte W^, 

 (-<„, freigestellt, nur niHs.sfen diese durch je ein Paar <ta, resp. y«/7. von <l> gehen. Die Kegelschnitte können 

 hiebei auch als zerfallende angenommen werden, nur nicht so, dass eine von den Geraden das Paar «a, resj). 

 Ulli, trägt, da wir voraussetzten, dass W,,, (-)„, nicht durcli </ gehen sollen. 



;i. DieEnveloppe ^^ des Systems der Kegelschnitte (■» berührt <!' in allen Punkten, in 

 denen sie dieser Curve begegnet. 



Denn sei s ein Punkt von ^^, der auf O liegt, so wird die Curve y,„ welche <!> in .s berührt, den Kegel- 

 schnitt 0, ausser in su noch in dem Quadrupel [s\ treffen, das auf M\ liegt. Da aber ein Punkt von ^^ also 

 von [s], in den Punkt s fällt, so muss f,, den Kegelschnitt 0» in s berühren, also auch St,^, da 0, und ^,^ einan- 

 der in [s] berühren. 



Die Kegelschintte in 0„ bilden ein System vierfach berührender Kegelschnitte von S?^. 



Die acht Berührungspunkte von ^,^ auf<l> bilden d ie Basisi)U nktc eines Curvenbüschels 

 3''*'' Ordnung, dessen 9'"' Punkt d ist, und dessen Curven daher aus <i> die Paare aa. ausschei- 

 den, während sie S\ IndenGruppen [«] treffen, welche mit m« auf dem Kegelschnitte 0„ lie- 

 gen, der ^^ in [a\ berührt. 



Denn aus den Gleichungen (3) und (4) folgt 



A'%-^^h^ = [<^aB+AHf, (5) 



d. h. die Curve dritter Ordnung 



^)aB+ÄH=0 (0) 



geht durch die acht Berührungspunkte von ^^ und <l>. Sie geht aber auch durch d und das Piiar aa. auf yl=: 

 und 0„=O. Hieraus folgt aber, dass durch die acht Berührungspunkte von ^\ auf *!> ein Büschel von Curven 

 dritter Ordnung geht, die d enthalten und aus <I> die (){p ausschneiden, da die Curve (ß) eine Gruppe der 

 Schaar enthält. Denkt man also A variabel und den Büschel durch d beschreibend, so wird die Curve 3'"'' Ord- 

 nung (6) auch den Curvenbüschel beschreiben und 0„ aus (5) das System der Kegelschnitte, welches aus <I> 

 die Paare auf A und aus Ä^ die Quadrupel [«] ausschneidet. Die Identität (5) zeigt auch, dass ^^ in den 

 Schnittpunkten mit 0„ von diesem berührt wird, und dass dieses Qu.adrupel aus Ä^ durch die zugehörige Curve 

 3*'*'' Ordnung (('>) ausgeschnitten wird. 



4. Denkt man sich durch die acht Punkte, in denen .^^ und <1» einander berühren, den Büschel von Cur- 

 ven 4>"'' Ordnung gelegt, dessen Curven sich alle in den acht Punkten berühren, so wird jede Curve C^ dieses 

 Büschels von den Curven 3'°' Ordnung durch die acht Punkte in einer Schaar von Quarirupeln geschnitten, in 

 denen je ein Kegelschnitt die 6'^ berührt. Unter diesen Curven C^ tritt dann auch unsere Curve <I> mit dem 

 Doppelpunkt in d, der Basispunkt des Curvenl)üschels 3'"'' Ordnung ist, auf. Diese Curve <t> wird von dem 

 Büschel 3*"' Ordnung ausser in d nur in Paaren aa. geschnitten und das System der vierfach berührenden 

 Kegelschnitte übergeht für diese in die doppeltgezählten Graden durch il, welche die Paare aa tragen. 



Hat man irgend zwei Curven 4'" Ordnung C^, C^, die sich in acht Punkten berühren, so zwar, dass durch 

 die acht Punkte kein Kegelschnitt geht, so wird jede Curve des Büschels 4*" Ordnung C^ + aC'/=0 von den 

 Curven 3'"' Ordnung durch die acht Punkte in Quadrupeln geschnitten, in welchen vierfach berührende Kegel- 

 schnitte an die Curve 4'"'' Ordnung möglich sind. Durch den 9''^" Basispunkt d' des Curvenbüschels 



