124 Karl Bobek, 



3'" Ordnung geht eine Curve 4''' Ordnung <I>'^ 6'^ + // C/= 0, welche in r/' einen Doppelpunkt 

 besitzt. Denn der Cnrvenbüscliel 3'''' Ordnung sclineidet eine Curve 4'" Ordnung des Büschels z. B. C^, wie 

 eben erwähnt, in Quadrupeln und sei der Kegelschnitt, welcher C^ in einem solchen Quadrupel berührt, 0'. 

 Dann bilden die (-)' ein System von Kegelschnitten vom Index 2, das ein — eindeutig auf den Curvenbüschel 

 3'"'' Ordnung bezogen ist, durch die Quadrupel auf 6'^. Beide Curvensysteme erzeugen daher ausser C^ noch 

 eine Curve 4''^'^ Ordninig, die in d', welcher Punkt nicht auf G'^ liegt, einen Doppelpunkt besitzen muss. Diese 

 rauss mit fl>' identisch sein, da sie G\ in den acht Basispunkten des Curvenbüscliels 3''' Ordnung berührt, wie 

 man aus der Erzeugung leicht ersieht. 



5. Hat man nun umgekehrt irgend eine Curve 4'^''' Ordnung C^, welche <I> in acht Punkten berührt, durch 

 die ein Büschel von Curven 3'" Ordnung geht, dessen Curven nicht alle zerfallen (indem die acht Punkte nicht 

 auf einem Kegelschnitte liegen sollen), so schneidet der Büschel von Curven 3^"'' Ordnung, die Curve <I> in Qua- 

 drupeln, in denen vierfach berührende Kegelschnitte möglieh sind. Gehört d nicht zu den Basispuukten des 

 Büschels, so werden die Curven des Büschels 3'<"' Ordnung in vier variablen Punkten die <& schneiden, in 

 denen stets ein berührender Kegelschnitt an <I> möglich ist. 



Liegt aber d auf allen Curven f des Büschels 3'""' Ordnung, dann schneiden die Curven 

 f auf (I> die gi^i aus, und wir wollen zeigen, dass die vier Punkte \a], in denen ^o noch die 

 Curve C^ trifft, welche <I> in den acht Punkten berührt, mit dem Paar aa, welches sie auf <I> 

 ausschneidet, auf einem Kegelschnitte (■)„ liegen, der 6\ in dem Quadrupel |«] berührt. 



Dieser Satz folgt zwar direct aus dem sub 4. bewiesenen Satze, soll aber hier noch auf einem anderen 

 Wege bewiesen werden. 



In dem 15üschel von Curven 6''^'' Ordnung 



bestehen, wo (-)=iO ein Kegelschnitt ist, der C'^ in den vier Schnittpunkten von f^ berührt und durch die 

 Punkte a« geht, in denen A die y„ trifft, die auch auf <I> liegen. 



Es möge bemerkt werden, dass nicht vorausgesetzt wurde, dass C'^ irreducibel sei, sondern dass alle 

 Betrachtungen auch für beliebig reducible CurvenC'^ gelten, die <I> in acht Punkten berühren, sobald nur diese 

 Punkte nicht auf einem Kegelschnitte liegen, also C^ keinen doppelt gezählten Bestandtheil enthält. 



6. Aus dem Voranstehendem folgt noch: Hat man acht Punkte auf <I> so bestimmt, dass als 

 9'" Basispunkt für den Büschel von Curven o''^' Ordnung der Doppelpunkt d hinzutritt, so sind 

 die aciit Punkte Berührungspunkte eines Büschels von Curven 4''^'^ Ordnung und irgend eine 

 6'^ desselben kann dazu dienen, ein System von Kegelschnitten zu bestimmen, welches 

 Cn vierfach berührt und aus <I> die </*'' ausschneidet. 



Denn sei y„ die Curve des Büschels 3'^''' Ordnung, welche durch das Paar aa geht, dann schneidet [y„J^=rO 

 die <I> = in dem vollständigem Schnittpunktesystem einer Curve 6'" Ordnung. Da nun [^J^ = U durch die 

 Punkte a, a, d geht, so liegen die IG in den acht Punkten vereinigten Schnittpunkte auf einer Curve 4''' Ord- 

 nung 6',, oder durch die acht Punkte geht eine die <I> daselbst berührende Curve 4''''' Ordnung. Diese kann wie 

 in 5. gezeigt wurde, zur Construction des Systems der benutzt werden. 



Von den acht Punkten des obigen Satzes kann man sechs willkürlich, nur nicht auf einem Kegelschnitte, 

 auf (I) annehmen. Denn legt man durch rf, aa und sechs willkürliche Punkte von <I> die Curve ^ der 3'"" Ord- 

 nung, so schneidet sie (I> noch in zwei Punkten, die mit den sechs angenommenen zusammen die Basis eines 

 Curveubüschels 3*'"' Ordnung bilden, welcher aus <I> die (/!^'* ausschneidet. 



7. Nimmt man zur Erzeugung einer Curve 4'^'''' Ordnung <!> als System von Kegelschnitten speciell eine 

 Kegelsehnittsschaar, mit den vier festen Tangenten !>,, B^, D^, D^, indem man die Kegelschnitte dieser Scbaar 



