121) Karl Bohek, 



welche iu l vom 5'"" Grade ist nud die zwei Wurzeln / = 0, /=: — 1 besitzt, für welche der Kegelschnitt (8) 

 in die doppelt gezählten Geraden r, =0, resp. Tj^O zerfällt; die drei übrigen Wurzeln hängen von den a,- 

 und 6, ab. 



Beachtet man, dass T.^+T^ + 1\^^Q ist, so ersieht mau, dass die Gleichung der Curve <I> noch in folgen- 

 den zwei Formen geschrieben werden kann: 



'i',3 = r\ T^+ (r^ + r^-r^) T, 7^, + ^ T] = (12a) 



Wie in 3. allgemein gezeigt wurde, ergibt sich die Curve 3''' Ordnung, welche durch die acht Berüh- 

 rungspunkte der vier Doppeltangenteu, sowie durch <f und f^ resp. f,^ geht aus den sich hier direct einfach 

 ergebenden Identitäten : 



(14) 



(15) 



Setzt man 

 SO ersieht mau, dass der Strahleubüschel (11) auch mit dem CurvenbUschel 3'" Ordnung 



j>,+Ä^, = V.(i+i-i)(7;+Ä2;) + 2(r=j;+xi7;) = o (16) 



welcher durch X auf den ersteren projectivisch bezogen ist, die Curve <!) erzeugen. 



Die Berührungspunkte der Curve <I> auf den Doppeltangenten können durch Kegelschnitte ausgeschnitten 

 werden, die durch den Doppelpunkt und zwei der Punkte f,, t^, t.^ gehen. Die Gleichungen dieser Kegel- 

 schnitte ergeben sich einfach aus (12), und zwar liegen die Berührungspunkte 



von Z>,=0 auf den Kegelschnitten K^^ = rJ^~r^T^—Q,K\^=z^l\—r^T^ — Q,K^^=T^T^—T^T^ — 



„ i?4 = ü „ „ „ K^^^7^T^—T/I\z^0,K^^ = 7./I\+T^T.^ = 0,K'^.J^T./J'.^-hr/l\ = 0, 



wie man leicht erkennt. Denn z. B. für i>, =0 also — 73 = 7, -f-r^ wird <I»^(r, I'^ — r^'I\y aus (12) sich 

 ergeben. 



Man ersieht hieraus, dass die vier Berührungspunkte je zweier Doppeltangenten auf einem der Kegel- 

 schnitte liegen, der durch d und zwei der Punkte /,, i^, f^ geht. 



8. Wir haben in 2., S. 6 gezeigt, dass, wenn man durch zwei Paare aa.,\hß von <I> eine adjungirte Curve w 

 der 3'"° Ordnung legt, dieselbe *I) noch in sechs Punkten trifft, durch welche ein Netz adjungirter Curven y 

 geht, von dessen Elementen jedes *!> in zwei Paaren trifft, und in welchem jeder Büschel solche Gruppen aus <I> 

 ausschneidet, die aus dem Doppelpunkt d durch eine quadratische Involution projicirt werden. 



Legen wir nun durch die Paare aa., hß auf den Strahlen A, B einen Kegelschnitt 0, der <1> noch in vier 

 Punkten trifft, so wird der Büschel von Kegelschnitten durch diese vier Punkte aus <I> Punktgruppen aus- 

 schneiden, die aus d durch eine quadratische Involution projicirt werden, welche auf die Kegelschnitte des 

 Büschels projectivisch bezogen ist, durch die Punkte von <1>. Denn wird durch irgend eine durch d gehende 

 Gerade T zu einer y ergänzt und der Büschel von Curven ^, der durch einen beliebigen Punkt von T 

 bestimmt wird, besteht aus dem Kegelschnittsbüschel, der eben erwähnt wurde und au.'s T. 



Wir denken uns die Involution im Doppelpunkt d bestimmt, durch die Paare A, B und das Strahlenpaar 

 A + B\/ — 1=:0 und A — B\/ — 1 ^0, so dass wir als Gleichung der Involution 



(A^+B'')iJ.+2AB — (18) 



