tJher Curven 4''''' Onlimti;/ vom. Geschleihle Zivei. 127 



ansetzen können. Ferner wollen wir voraussetzen, dass der Kegelschnitt H=0 duich die Paare gebt, welche 

 ^^-f ß^ = aus <I> ausschneidet, dann wird der auf die Involntion (18) projectivisch bezogene Kegelsclinitts- 

 blischel die Gleichung 



,a//-e = (19) 



haben, und durch Elimination von p. ergibt sicli 



<1, = (^^12+ ß^ I H + -JMAB = ( ) (20) 



als Gleichung der C'iirve 4''' Ordnung. Das System der Kegelschnitte, welches mit dem Strahlenbiischel 

 A—'aB = diese C'urve <I> erzeugt, hat die Gleichung 



und die C'urve 4''^^' Ordnung Sü^, welche das System einhüllt, besteht aus zwei Kegelschnitten des Büschels 

 (19), da 



Si, ~ H'—9^ = {H- 0) (//+0) 

 wird. 



AVir nehmen statt des willkürlichen Kegelschnittes die doppelt gezählte Gerade '1\^, welche die Punkte 

 t^^ /j mit einander verbindet., deren Tangenten 1\, T^ durch d gehen. Die Gerade 1\^ schneidet ausser in den 

 zwei zusammenfallenden Paaren t^, t^ die 4) noch in den Punkten «,, a^ und der Büschel (19) wird die <I> in 

 diesen Punkten berühren. Seine Gleichung wird 



u.]I—T;., = (21) 



sein. Die Involution (18) übergeht in 



m+Ti)iJ. + 2T/r,^0 (22) 



und die Gleichung der C'urve 4''='' Ordnung wird 



<1> = ( 7'j + Tl ) T-^ + 2H 7\ 'l\ = 0. (23) 



Dieselbe wird auch erzeugt durch den Strahlenbüschel 



7',— rr^rzO 

 und das System der Kegelschnitte 



Tl^(\+\^] + 2H).-0, (24) 



welches als Enveloppe die beiden Kegelschnitte 



Ä-r,-, = H+T^^-O 



besitzt, die * ausser in a^, a^ noch in den Schnittpunkten von <I> mit T^ + l\^0, resp. T^ — 2\=zQ berühren. 

 Wir wollen diese Geraden mit %^^ und %[^ bezeichnen und die Punkte auf denselben mit tr, resp. t'r'. 



9. Die Curve 4'"' Ordnung mit einem Doppelpunkte besitzt 13 Constanten, indem das Auftreten eines 

 Doppelpunktes eine Bedingung involvirt. Diese Constanten treten in die Coefficienten der Gleichung der Curve 

 ein. Denkt man sich die Curvengleichung auf ein anderes Coordinatensystem transformirt, so kann man durch 

 die acht eingeführten Transformationsconstanten acht Constanten der Curve willkürliche Wertbe (innerhalb 

 gewisser Grenzen) geben und es bleiben dann nur fünf Constanten übrig, deren Zahl durch lineare Transfor- 

 mation nicht verringert werden kann, und von denen die Curve woscntiich abhängt. 



Die Gleichungen (12) und (23) sind kanonische Formen für die Curve 4'''' Ordnung, indem 

 sie blos von fünf wesentlichen Constanten abhängen. 



Denn legt man als Coordinaten-Dreicck in (12) das zn Grunde, dessen Seiten r, ^0, r^^O, r^zzO sind, 

 so enthält (12) nur fünf wesentliche Constauten, uändich die Vcriiältnisse der sechs Grössen «,, ft, aus (10). 



Eine vorgelegte Gleichung einer Curve 4'" Ordnung kann auf 80 wesentlich verschiedene Arten auf eine 

 solche kanonische Form gebracht werden, wobei die drei Fonnen 12, 12a, 126 als nicht wesentlich verschie- 



