128 Karl Bohek, 



dene anzusehen sind, wie wir später bei der Untersuchung- über die Systeme der Doppeltangenteu zeigen 

 werden (vergl. III, sub 25., S. 140). 



Für die Gleichung (23) nehmen wir das aus T, = 0, 1\^0, T^^O gebildete Dreieck als Coordinaten- 

 Dreieck. Dasselbe besteht daher aus zwei Tangeuten aus dem Doppelpunkte von <I> und der Berühningssehne 

 derselben. 



Es treten in (23) nur die sechs Coefficienteu in H auf", welches eine quadratische Function ^^)n T^, J\, 

 Tjj wird. Man kann dann in <I> statt 2',^ auch c. T^^ einfiiliren und c so wählen, dass ein Cofe'fficient in //einen 

 beliebigen Werth erhält, so dass in (23) also eigentlich nur fünf wesentliche Constanten auftreten. 



Da es sechs Tangenten von d an (I> gibt, sobald in d kein Zweig einen Wendepunkt besitzt, was wir 

 vorraussetzen wollen, so kann die Gleichung von <I> auf ^/^.Q.b^=ilb wesentlich verschiedene Arten auf die 

 Form (23) gebracht werden. Oder es gibt 15 kanonische Gleichungs-Formen von der Art (23). 



II. Die vierfach berührenden Kegelschnitte der Curve 4*«'' Ordnung mit einem Doppelpunkte. 



10. Wir haben in 1., S. 7 gesehen, dass durch acht Berührungspunkte einer Curve C,^ mit fl> ein Büschel 

 von Curven 3'*="^ Ordnung geht, welcher auf <& Quadrupel ausschneidet, in denen ein die <& berührender Kegel- 

 schnitt möglich ist. Fallen von diesen Quadrupeln stets zwei Punkte in den Doppelpunkt, d. h. hat der 

 Büschel der Curven 3'°"' Ordnung den Doppelpunkt d zum neunten Punkt, dann ist der Strahlenbüsciiel durch 

 d das System der vierfach berührenden Kegelschnitte, indem jeder Strahl desselben doppelt gezählt einen 

 solchen Kegelschnitt vorstellt. 



Wir wollen nun voraussetzen, dass der Büschel von Curven 3'"' Ordnung durch die acht Berührungspunkte 

 von 6'^ auf <I> nicht d zum 9*"=" Punkt besitzt, dass also die Curven C^ des Büschels die <1> in vier variablen 

 Punkten treffen. Dann ist offenbar jedes Quadrupel von Punkten [ß] so beschaffen, dass ein Kegelschnitt ^ 

 in demselben die <I> berüiirt, und je zwei Quadrupel [ß] und [S'] liegen auf einem Kegelschnitte K. 



Denn wird [^] von C^, [.^'] von C'{ ausgeschnitten, so geht durch IG Schnittpunkte der Curve 6'" Ordnung 

 63 . Cg mit O die Curve 4'''' Ordnung C'^, also liegen die acht letzten nämlich [^] und [^'J auf einem Kegel- 

 schnitte. 



Es sei nun f die Curve 3''^'' Ordnung des obigen Büschels, die durch den Doppelpunkt (7 von O geht. Sie 

 schneidet fl> noch in zwei Punkten, die nicht auf einer Geraden mit d liegen können. Denn würde dieses 

 eintreten, so ginge durch die acht Schnittpunkte von ^ mit <I> und d ein Büschel von Curven S'*"" Ordnung, 

 während wir gerade voraussetzten, dass der ^^" Punkt zu den acht angenommenen nicht (/ sei. 



Sind die Schnittpunkte von y mit <J), daher t^ und t^, so bestimmen dt^ und dt^ zwei 

 Strahlen T^, T^ von d, die <t> in t^ und t^ berühren müssen. Jede Gruppe [^], die von der Curve 

 C3 des Büschels auf <I> ausgeschnitten wird, liegt mit d, /, , t^ auf einem Kegelschnitte K, 

 welcher 53 in d berührt. 



Denn C^ geht durch die Schnittpunkte von C^.'f mit <I>, also besteht die Identität, wenn /i und ilf gewisse 

 quadratische Functionen der Coordinaten sind 



K.C,^'f.C,^M.'\>, (1) 



wobei also M^O derjenige Kegelschnitt ist, welcher die acht Punkte enthält, in denen C\ von y und Cj geschnit- 

 ten wird. Es ist ferner K-=0 der Kegelschnitt, welcher durch das Quadrupel [^] geht, in dem C^ die <I> 

 schneidet und überdies durch die Punkte t^, f^, in welchen f die <1> trifft. Es enthält /iC auch den Doppelpunkt (/ 

 von ih, und da C^ und C3 nicht durch ihn hindurchgehen, muss K die Curve f in d berühren, denn /T. C^^O 

 schneidet in d die Curve ©=0 genau so wie i)/. <^^0 d. h da i. A. M nicht durch d geht, so wie <l>r=0. Da 

 nun <I)=0 die 0=0 in (7 in zwei Punkten trifft, so muss dies auch K^O thun, denn C^ geht nicht durch d. 

 C3 war nun eine willkürliche Curve des Büschels. Lässt man dieselbe mit ^ zusammenfallen, so ergibt 

 sich die Identität. 



K'.C„ = f—M'<P 



