über Curven 4'"'' OrrJimnr} vom Geschlechte Zwei. 129 



und aus dieser folgt, dass K' in tl einen Doppelpunkt haben miiss, indem jede Curve des Büschels Q^" Ord- 

 nung cp^ — Ailf'<I>=0 in (/ eiuen Doppelpunkt besitzt. Es rauss also K'^T^ 1\ sein d. li. in das Product zweier 

 linearer Factoren zerfallen. Dann folgt aber aus 



r,.r,.c, = y^-iV'<i>, (2) 



dass sowohl T, =0 als Tj^O die Curve O =() in ihren Schnittpunkten mit y =0 berühren, d. h. T^ und J\ 

 sind Tangenten von <J) in <, und t^. 



11. Multiplicirt man die Identität (1) mit Ä und subtrahirt sie von (2) so erhält man die Identität 



[ 7; . 1\ — l K] C, = [f—lC,\f — [M'— X M\ <1> , (3) 



aus derselben folgt, dass der Kegelschnittsbüschel 



l\l\~lK-() (4) 



aus <I>=:0 dieselben Quadrupel [Ä] ausschneidet, wie der Curvenbüschel 3'" Ordnung 



ü— ÄC'^^iO, (5) 



d. h. der Büschel von Kegelschnitten durch d, t^, t^. welcher in d eine feste Tangente %^^ l)esitzt, die auch die 

 Curve f berührt, schneidet aus <I> ein System von Quadrupeln [^] aus. Wir wollen in der Folge durch [Ä] 

 stets ein solches Quadrupel von Punkten bezeichnen, in welchem ein die <1> berührender Kegelschnitt mög- 

 lich ist. 



Unter den Kegelschnitten (4) befindet sich auch einer, der in die feste Tangente %^^ und die Gerade T^^ 

 zerfällt, welche die Punkte f^, t^ trägt. Die r,j schneidet <I> noch in den Punkten «,, a^, die X^^ in dem Paare 

 tr, so dass a^, a^, f, r ein Quadrupel [ß] bilden, das mit dem in 8. gefundenen identisch sein muss. 



Nun haben wir in 8. gesehen, dass durch die Punkte a^, a^ auf T^^ zwei Kegelschnitte gehen, welche *i> 

 in öl, «2 und in dem Paare t, t, resp. t', r' berühren. Es bilden also a,, a^, t, r und a,, a^, t', t' je ein Qua- 

 drupel [Ä], resp. [^'] und es lässt sich zeigen, dass alle Kegelschnitte des Büschels durch t^, t^, d, 

 welche entweder Z^^ oder Z'^^ berühren <l> in Quadrupeln eines Systems schneiden, und dass 

 von den Kegelschnitten, die durch J, t^, t^ gehen, es nur diese beiden Büschel thun. 



Denn sei K ein Kegelschnitt durch d, /, , t^, welcher <I> in einem Quadrupel [Ä] schneidet, in welchem 

 der Kegelschnitt ^ die O berührt, so ist in dem Büschel von Curven 4''"' Ordnung 



pcj)_74:2=:0 



die aus ^ und T^ T^ bestehende Curve enthalten, also muss für ein bestimmtes p eine Identität 



p'l'— A'*=r,.7;.fi (6) 



stattfinden. 



Die Form von O neiimen wir aus der Gleichung (23) in I, S. 11. 



<1. = { T- + TD Tl, + 2HT, T, = U, (A) 



und da K durch die Punkte (/, /, , t, geht, so kann 



K^a 7', 7; -t- /- 7; 7; 2 +'■ 7; r.j 

 gesetzt werden, wobei a, h, r irgend welche Coustanten sind. Dann folgt 



^,t>_.K' = Q^_b'-^Trr;, + {c,-c')TlT,, + T/r,[2pH--a^T,T,-2abT/T,,~2acT,T,,-2bcTl,]. (7) 

 Soll also für einen speciellen Werth von p die Identität (6) stattfinden, so muss 



werden können, d. h. es ist entweder 6 =z c oder b := — c; dann wird aber 



K = aT^T,+b{T^±T,^T^,, (8) 



Denkscliriflen der m;ilhei«. naturw. Cl. TjUI. Bd. AbhandluDgen von Nichtraitgliodern. I» 



