130 Karl Bohek, 



d. h. die Kegelschnitte K müssen entweder die Gerade T^-{-l\z=lO oder T^ — 'l\z:z Oim Punkte d berühren. 

 Diese beiden Geraden aber sind %^^, resp. %[^ welche die Paare tr, resp. t'^' tragen, die mit a^a^ je ein 

 Quadrupel bilden. 



12. Wir wollen nun auch die Gleichung des Systems vierfach berührender Kegelschnitte der Curve 4) auf- 

 stellen, welche den beiden die Quadrupel von Punkten ausschneidenden Büscheln durch t^, t^, cJ, die in d die 

 Gerade St,2, resp. %[^ berühren, entsprechen. 



Da die Geraden %^^ und %[^ die Gleichungen Tx + 1\ = 0, resp. J\ — T^=0 haben^ so ist die Gleichung 

 der beiden Büschel 



2^1 T, r, + (T, ± 2\) r„ = 0. (9) 



Nun folgt, dass für ein beliebiges u. 



^ = [2iJ.T^T, + {T^±T,M\,Y + 2T^T,[H=FT~, — 2y.(J\±T,)J\,~2ix^T, 7\] (10) 



ist, wie die Reduction rechter Hand ohne weiters ergibt. Hieraus ersieht man, dass der Kegelschnitt 



die Curve O in dem Quadrupel [^] (ausser in /, , f^, d) schneidet, in welchem die Curve <t> von dem Kegel- 

 schnitte 



^ = H~Ti^ — 2ix{T^ + T^)T,^ — 2iJ.^r/I\ = (12) 



berührt wird. Hingegen schneidet der Kegelschnitt 



7v'=2|jlT,T2 + (^1-^2) ^12 = (IIa) 



die Curve <I> in dem Quadrupel [®], in welchem der Kegelschnitt 



^'= H+ Tl^—2iK{T^ - rj T„ — 2fx« T, T, = (12 a) 



die 4> berührt. 



Für ein variables [>. stellt die Gleichung (12) ein System von vierfach berührenden Kegelschnitten der 

 Curve dar. Diese Kegelschnitte gehören alle dem durch die drei Kegelschnitte 



bestimmten linearen Netz an. Hieraus oder aus den einfachen Identitäten für zwei Kegelschnitte 



^=H- T;i-2ix (r, + T,) T,,-2p} r, 7; 



ersieht man, da 



5?- 1, = 2(,a, -,x-)[ (r, -^ r,) T„ -t- (;x, -4-;x) r, TJ 



ist, dass der Kegelschnitt, welcher durch d und die vier Schnittpunkte zweier Kegelschnitte desselben Systems 

 geht, auch durch die Punkte t^, f^ geht und in d dieselbe Tangente Üj^ besitzt, welche dem System zugehört. 

 Aus der Identität 



(!J.-!J.,y^ = [H- 7l-(!x + p.,)(T, + T,) 7'„-2,a.u, 1\ r,]^-ÄÄ, , 



deren Richtigkeit eine einfache Reduction ergibt, folgt, dass je zwei Quadrupel desselben Systems, in welchem 

 die Kegelschnitte Ä, Äj vierfach berühren auf einem Kegelschnitte 



C = H— T■^^ — [^p. + |x^] (i; + J\) 7;,— 2|JLja, T, T, = 

 liegen. ' 



1 Aus der Gleichung (12) ersieht man auch, dass die Kegelschnitte ß des Systems die Gerade T, = in derselben 

 quadratischen Involution schneiden, wie der Kegelschnittsbüschel IZ^—Täjo — 2;i T, Tj,, = , dass also in dieser Involution der 

 Doppelpunkt d von * und t^ ein Paar entsprechender Punkte sind. Dies folgt übrigens auch daraus, dass die Kegelschnitte 



