über Curven 4*"'' Orclnunx] vom Geschlechte Zum. 131 



13. Wir wollen die Systeme vierfach berührender Kegelschnitte, welche denselben Tangenten Ti 1\ 

 aus d zugeordnet sind und deren Gleichungen (12) und (12a) angeschrieben wurden, einander conjungirte 

 Systeme nennen. 



Beide enthalten als speciellen Kegelschnitt des Systems das Tangentenpaar I\T^, welches für ij.=:oo 

 sich ergibt. 



Wir liaben gesellen, dass die Gleichung der Cnrve 4'"^ Ordnung mit Doppelpunkt auf 15 verschiedene 

 Arten auf die Form (A) gebracht werden kann, entsprechend den 15 Combinationen zu Zweien, der durch d 

 gehenden sechs Tangenten von <I). Hieraus folgt nun, dass wir entsprechend diesen 15 kanonischen 

 Gleichungsformen 30 Systeme vierfach berührender Kegelschnitte für <t> erhalten, von 

 denen je zwei einander conjungirt sind. 



In jedem System und dem conjungirten tritt als specieller Kegelschnitt ein Tangcnlenpaar aus dem 

 Doppelpunkte an <i> auf. 



Wir wollen die 30 Systeme von vierfach berührenden Kegelschnitten oder auch die Systeme der Quadru- 

 pel von Punkten, in denen die Kegelschnitte berühren, mit [il] und [ilc^ bezeichnen, wobei ?, k die Zahlen 1, 

 2, 3, 4, 5, 6 bedeuten sollen und das System [ik] dem System [//:]' conjungirt ist. Beide entlmlten als spe- 

 ciellen Kegelschnitt das Tangentenpaar 2', T,^. 



Die Kegelschnitte K,i„ welche die Quadrupel des Systemes [ik] mit d verbinden, gehen dann noch 

 durch ti, tk und haben in d die Tangente J,/,; während die Kegelschnitte K'a-, welche durch i,-, t,, gehen und 

 in d die Tangente 2!'^ besitzen, das System der Quadrupel [?7i]' ausschneiden, welches dem ersteren conjun- 

 girt ist. 



14. Ausser den eben gefundenen 30 Systemen von vierfach berührenden Kegelschnitten 

 gibt es keine Kegelschnitte mehr, welche O vierfach berühren, ohne durch d zn geben. 



Denn sei [ß] ein Quadrupel, in welchem ein die <\> vierfach berührender Kegelschnitt ^ existirt, so muss 

 der Kegelschnitt K, welcher durch [Ä] und den Doppelpunkt d bestimmt ist, die Curve <I> noch in zwei 

 Punkten treffen, deren Tnngenten durch d gehen. In dem Büschel von Curven 4'«''' Ordnung 



(D — XA'^ = 0, 



welche alle in d einen Doppelpunkt besitzen, muss diejenige, welche mit Ä noch einen Punkt gemeinschaftlich 

 bat, in ^ und einen anderen Kegelschnitt E! zerfallen, also muss Ä', da S nicht durch d geht, in d einen 

 Doppelpunkt besitzen, mitbin in zwei Gerade T, T' zerfallen. Aus der Identität 



folgt aber dann, dass sowohl T als T' die <^ in den Schnittpunkten von K berühren. 



Gebt aber der Kegelschnitt K, welcher das Quadrupel [Ä] mit d verbindet durch zwei der Berührungs- 

 punkte der Tangenten aus d, so ist der Kegelschnitt ß in einem der 30 erwähnten Systeme enthalten, und 

 alle Kegelschnitte, welche durch die Berührungspunkte gehen und in d den A' berühren, schneiden das 

 System aus, zu welchem [^] gehört. 



Anmerkung. Die Quadrupel [fi'j können, wenn von d an 't sechs Tangenten gehen, die 

 ausserhalb (/ berühren, nicht aus zwei Paaren aa, hß der r/^' bestehen. Denn würde ein Quadrupel 

 aus den beiden Paaren aa, bß auf A und B bestehen, so würde der obige Kegelschnitt K^AB werden, und 

 aus der Idenlität 



it> — }/A'B^=T.T'.Si 



würde folgen, dass T=^0 ebenso wie T'=zO mit fl'=:0 in d vier Punkte gemeinschaftlich hätte, dass also 

 Ti=0 und !r'=:0 Wendetangenten im Doppelpunkt von O wären. Dann gehen aber an <I> nur mehr vier 

 Tangenten, die ausserhalb berühren. Diesen entsprechen 12 Systeme von Quadrupeln, in denen keine Paare 



S einem Netze angehören, in dem 2\ 2'2=0 cinKcgelselmitt ist. ^'ergl. Amcseder „Geijuietiischc Unteisuchuug dor ebenen 

 Curven 4. Ordnung, IT. Mittheilung. Sitzungsber. d. kais. Akademie, Bd. LXXXVII, p. 40. 



