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aa. i. A. auftreten; dasselbe gilt von weiteren 16 besonderen Systemen dieser Curve. Zwei der Systeme 

 bestehen dann aus lauter Paaren aa., bß. Die sie ausschneidenden Geraden bilden zwei quadratische Involu- 

 tionen in d. • (Vergl. II der zweiten Abtheilung, S. 32.) 



15. Zwei Quadrupel, welche demselben Systeme angehören, liegen stets auf einem Kegelschnitte. 



Zwei Quadrupel [^] und [^], welche conjungirten Systemen angehören, bilden die Basis 

 eines Büscli eis von Curven 3'" Ordnung, dessen 9'"' Punkt der Doppelpunkt von <& ist. 



Wir beweisen diess, indem wir zeigen, dass sich immer ein System 8 von Kegelschnitten angeben lässt, 

 welches Ä und Ä' je doppelt berührt und aus <I> die Paare a« auf den Strahlen A durch d ausschneidet. Ist 



^l^ = Cr\ + Tl)T^^+2HTiT^ = (13) 



die Gleichung der Curve 4'" Ordaung, so ergibt sich <t> durch Elimination von X aus den beiden Gleichungen: 



1\—aT—0 



Ü = {T^—^AT^){M-lN)+T^\{l + ■k^)+2HA = 0, (14) 



wobei 



ist. Die Constanten »»,, n,- sollen dann so bestimmt werden, dass die Enveloppe des Systems der Kegelschnitte 

 0^0 aus den beiden Kegelschnitten 



r = H+ Tf.— 2p.^ (2; - r^) T^, - 2ixi r, 2; = 



besteht. Denn dann wissen wir aus I. 3., dass die acht Berührungspunkte beider Kegelschnitte die Basis- 

 punkte eines Büschels von Curven 3*'''' Ordnung sind, dessen 9'" Punkt der Doppelpunkt von <I> ist. 

 Nun ist die Envelope ^^ des Systems der Kegelschnitte = aus (14) gegeben durch 



ß,= [H- % T,N- % T,Mf-[T^,+ 1\ M] [T^,+ T^N\ = 0, 

 und soll 



werden, so ersieht man, dass p = 1 ist, da sowohl in ^^, als in ^.^ der Coefficient von if^ — 2^^ gleich 1 

 ist. Die Identität muss daher die Form: 



[iT- V, T. («, T^^n, T, + n, T,,)- % T, (m, T, +m, T, + m, ?;,)] ^ 



= lH-2l-2,j.^iT, + T,) T,,-2ixl T, TJ [7i+ 7'f,-2^,(r.-r,) r„-2fx| T, TJ 



haben. Da nun rechter Hand ausser in ff Glieder mit TJ und T^ nicht auftreten, so muss «, = und m^ = 

 sein. Man erhält daher: 



1 Herr Brill findet aus dem Jakobi'schen Umkehrproblem in seiner Abli.indlimg: „Über diejenigen Curven, deren 

 Coordinaten sich als hyperelliptische Functionen eines Parameters darstellen lassen", Grelle, Bd. LXV, p. 283, sowie auch 

 in der „Note über Doppeltangenten einer Curve 41«' Ordnung mit einem Doppelpunkte", Matheni. Aunaleu, Bd. VI, p. 66, für 

 die Curve i'^"- Ordnung mit einem Doppelpunkte 31 Systeme vierfach berühreudiT Kegelschuitte. Das eiuunddreis.'iigste, dort 

 durch die Charakteristik 00001 bestimmte System, ist dasjenige, welches aus den doppelt gezählten Geraden, die durch den 

 Doppelpunkt von <t> gehen, besteht. Dies ist aus der Betrachtung, die in I., 4. angestellt wurde, sofort ersichtlich, da aus der- 

 selben hervorgeht, dass diese Geraden immer ein solches System bilden. Die Curve * ist eine specielle Curve des dort 

 betrachteten Büschels von Curven 4'erOrdnung, auf denen allen der Büschel von Curven 3'i=''0rduung ein System von Quadru- 

 peln ausscheidet, in welchen vierfach berührende Kegelschnitte möglich sind, die nicht aus doppelt geziihlten Geraden der 

 Ebene bestehen. Vergl. hierüber Araeseder „Geometrische Untersuchung der ebenen Curven 4. Ordnung, II. Mittheilung. 

 Sitzungsber. der kais. Akademie, Bd. LXXXVII, p. 43, — und Lindemann (Clebsch) „Vorlesungen über Geometrie", 

 p. 879. 



