über Curven 4'^'' Ordnung vom Geschleclde Zivei. 133 



Durch Vevgleichmig der CoeYficienteu von H'I\ 1\^ und H'1\T^.^ oder auch der Coet'ficienteu von T^T^^ 

 und 7', T'j'^ erhält man 



Die Coefficienten von T\ 7',\ und 7^ T,\ liefern die Gleichungen 



V^ ".^— ?", = 4/^, ,U.2 'A »(ii— «2 = — 4/J., f-.^ , 



aus denen sich 



ergibt. Die übrigen sich ergebenden Relationen werden sämmtlich durch diese Werthe von m, , m^ und n^, n^ 

 erfüllt, und wir haben daher folgendes Resultat, wenn wir in (14) die Werthe für »«,, m, einsetzen: 



Erzeugt man die Curve <t> durch den Strahlenbüschel 7', — iTj,z=0 und das System der 

 Kegelschnitte 



= [T„ + (;x, -,.,) TJ ^ +2 [77_(^= + ^^) T, 2\ - (jül, +p^,) T, 7\-(iJ., -^,) T, T, J X 



so wird die Enveloppe des Systems der Kegelschnitte die Gleichung Ä^ ^ haben, wobei 



t,= [i7-(^j+M=)T. 7;-Ca.+/.,)r, 7;,-(|.,-,.,)7', rj ^-[7'„+ (^-f.,u;] ''[t,^ +(/.,+/.,) 7;] ^ ^^^^ 



= [i7-7j,-2,.,('7', + 7;) 7;,-2Kf 7; 7J [77+ 7;,- 2^, ( 7', -T,) 7',, -2^=7^, 7;] 



sich ergibt, also S'^^Ä.Ä' ist, d. h. die Enveloppe besteht aus den beiden Kegelschnitten 

 conjugirter Systeme Ä, £' (15). 



16. Dass der Kegelschnitt = Gl. (16) sowohl ^ als S' doppelt berührt, ergibt sich nun einfach. Es 

 ist nämlich 



_ 2Ät = [T„+(,., -/v 7; +x(7;,+ {iJ.,+iJ.,) 7;)] * 

 0-2Äß'=[T„+(,x,-,.j7;-x(r„+(/x,+,.,)r,)]* 0») 



woraus folgt, dass der Kegelschnitt 0=0 von Ä = 0, resp. ß'=:0 doppelt berührt wird in den Schnittpunkten 

 mit den Geraden 



lT,,+ {ß-iJ.,) TJ + X CI\,+ i!^, + F.,) T,-] = 



[7-,,+ (/^.-Z^-^) TJ - A \_l\,+ (j,,+ij.,) 7,] = 0. ^^^^ 



Diese Gleichungen zeigen, dass die Berührungspunkte des variablen Kegelschnittes auf ^, resp. fi' je 

 eine quadratische Involution bilden, deren Centruin für S und ^' dersellie Punkt s der Ebene ist. Die Berüh- 

 rungssehnen selbst, welche zu einem und demselben Kegelschnitte W gehören, bilden in s eine (juadratischc 

 Strahleninvolution, deren Doppelstrahlen die doppelt zu zählenden Geraden des Systems der sind, die sich 

 für /=0 und / = oo ergeben. Diese Doppelstrahlen gehen durch die Punkte ;,, resp. f^. 



17. Der Scheitel s der Strahleninvolution ist der vierte Schnittpunkt der Kegelschnitte AT und K', welche 

 durch die Quadrupel [^|, [Ä'] und d, sowie f^, t^ gehen. Denn aus den Gleichungen (11) und (IIa) folgt, 

 wenn man in ersterer lJ.^, in letzterer p.^ an Stelle von p. setzt: 



K—K' = 2 7; [ 7', , + (a, - ,a,l J\ ] 



woraus der Beweis der obigen Behauptung sich ergibt. Der Punkt s ist auch eine Ecke des den beiden Kegel- 

 schnitten ^ und ß' gleichzeitig coujungirten Dreieckes, und die Doppelstrahlen der linolution (19) tragen 

 je zwei Schnittpunkte der Kegelschnitte, Avie aus Nachstehendem folgt. 



