übe)' Curven 4'"'' Ordnung vom Geschleckte Zwei. 136 



Deun die Curve (28) trifft den Strahl Tj — U\^Q in dem Paare «a auf <I» und für den Stralil 

 7; + lT^ — folgt aus (28) 



so dass er die Curve yi + Af^^ = auf K = oder /t'rr= treffen muss, wobei K und K' aus (11) und 11 a) 



folgen. 



19. Fassen wir die Resultate zusammen, so ergeben sich folgende 8ätze: Zwei Quadrupel [S]a und 

 [^'\ik aus den conjugirten Systemen [ilc] und [//,]', in denen die Curve <I> von den Kegelschnit- 

 ten ^ und ü' berührt wird, bilden die Basis eines Curyenbüschels 3''*'' Ordnung, dessen 

 9'" Punkt der Doppelpunkt d von O ist. Die Curven dieses Büschels schneiden ^undX?' je 

 in Punktepaaren einer Involution, deren Centrum für ^ und ^' derselbe Punkt s ist. Die 

 Strahlen von s, welche die Punktepaare auf Ä und ^' ausschneiden, durch welche dieselbe 

 Curve des Büschels S'""^ Ordnung geht, bilden eine quadratische Strahleninvolution, deren 

 Doppelstrahlen nach den zwei Punkten <,, t,, von <I> gehen. Diese Punkte t,-, ik liegen auch auf 

 den beiden Kegelschnitten K, K', welche durch die Quadrupel [Ä],/,, resp. [ä'Jü und d gehen. 

 Der Punkt s ist der vierte Schnittpunkt von K und K' , sowie eine Ecke des den Kegel- 

 schnitten ^ und Ä' gleichzeitig conjugirten Dreieckes. Jede Curve 3'"0rdnuug ^ des obigen 

 Büschels, welche <i> in dem Punktepaare aa auf dem Strahl A schneidet, trifft K und K' 

 noch in den Punkten a, a', die auch auf einem Strahle A' von d liegen. Die Strahlen A, A' 

 bilden eine quadratische Involution, deren Doppelstrahlen 'J] und II sind. Die Puuktepaare, 

 in denen die Curve w die Kegelschnitte ^ und S' trifft, liegen mit a -y. auf einem Kegel- 

 schnitte 0, der ß und ß' doppelt berührt. 



20. Hat man umgekehrt zwei Quadrupel [Ä] und [S?,], in denen die Kegelschnitte ^ und 

 £, die O berühren und geht durch [Ä] und [Ä,] ein Büschel nicht zerfallender Curven 3'" Ord- 

 nung, dessen 9'" Punkt der Doppelpunkt d von * ist, so liegen [S] und [fö,] in conjugirten 

 Systemen. 



Vor allem ist klar, dass [Ä] und [^^] nicht in demselben Systeme liegen können, da sie sonst auf einem 

 Kegelschnitte lägen, also der Büschel Curven 3""' Ordnung diesen Kegelschnitt als festen Restandtlieil ent- 

 hielte. 



Es seien K und K^ die Kegelschnitte, welche durch den Doppelpunkt d und [^], resp. [^,] gehen. Schnei- 

 det nun K die Curve * nocli in den Punkten t^, t,,, so muss auch /v, durcli diese Punkte hindurchgehen. Denn 

 sei 'ji! die Curve S'"' Ordnung des vorausgesetzten Büschels, welche durch ^,- geht, so berührt sie daselbst 4>, da 

 die Curven 'f die ^f') ausschneiden und ti ein zusammenfallendes Paar vorstellt. Die zwölf Schnittpunkte von <1> 

 mit y, sind daher [^], [Ä,], d, d, tt, U Nun geht die Curve 4'''' Ordnung /•T-üT, durch elf dieser Punkte, nämlich 

 K durch [g], d, ti und K^ durch [ß,], d, also muss sie noch den 12. Punkt enthalten, d. h. K^ muss durch ^ 

 gehen. 



Ebenso folgt, dass K^ durch 4 geht, und hieraus, dass [^] und [^J zu conjungirten Systemen gehören. 

 Hält m:in [ß,] fest, so wird der Büschel Curven S^«-- Ordnung, welcher durch [S,] geht, in d irgend eine 

 Curve f durch [§t\, [^,], die noch in aa. schneidet, berührt und nebstbei die Punkte act enthält, aus <I) das 

 System der [Ä] ausschneiden. Die Tangente von f, sowie vi, auf der aa liegen, bilden ein Paar der pro- 

 jectivischen Strahlenbüschel, welche in d durch die Strahlen ^ und die Tangenten der Curven ©, welche die 

 Paare aa. enthalten, bestimmt werden. 



21. Nimmt man daher zwei Quadrupel [S'J,; und [51]a/, die verschiedenen nicht conjugirten 

 Systemen angehören, so muss der Büschel von Curven 3'''' Ordnung, welcher diese acht 



