136 Karl Bohek, 



Punkte zu Basispunkten hat, auf <1> ein System von Quadrupeln ausschneiden, indem der 

 9'" Basispunkt d' des Büschels ausserhalb <I> fällt. 



Nun wurde in I, 4. gezeigt, dass der Punkt d' Doppelpunkt einer Cuive <1>' der 4*'" Ordnung ist, welche 

 <!> in den acht Punkten [^],4 und[^]4/ berührt, und dass der Büschel von Curven 3'"'0rdnung aus dieser dann 

 die ^^'' ausschneidet. 



Zufolge des vorliergehenden Satzes gehören also für diese Curve <^' die Kegelschnitte ß,^ wi"i ^a?> 

 welche in [Ä],-,,. und [ÄJ,,, die <^, also auch (I*' berühren, zu conjungirten Systemen und die beiden Kegel- 

 schnitte, welche [Ä],/, und [S']a? mit d' verbinden, schneiden einander noch in zwei Punkten auf <!>', deren 

 Tangenten durch d' gehen, und überdies in einem Punkte s, welcher eine Ecke des den Kegelschnitten S,/,, 

 Äj, conjungirten Dreieckes ist. Durch diesen Punkt s gehen die Strahlen, welche die Punktepaare tragen, in 

 denen ß,/, und ß,,; von den Curven des Büschels 3'"'' Ordnung getroffen werden und die Strahlenpaare, welche 

 die Schnittpunkte derselben Curve 3'" Ordnung mit Ä,/, und ^i,, enthalten, bilden eine quadratische Strahlen- 

 involution in s. 



Die Curven des Büschels 3''^'' Ordnung mögen auf O die Quadrupel [S],„ „ ausschneiden und Ä,„ „ sei der 

 <I> in einem solchen Quadrupel berührende Kegelschnitt des Systems [mn\. Dann schneidet ^,„„ die Curve 

 3ter Ordnung, welche das Quadrupel [S],„„ ausschneidet, noch in zwei Punkten a' a' von <^', so dass also die 

 Gerade a' a' stets durch d' geht. 



Sei f die Curve des Büschels, welche durch d geht, dann wissen wir, dass sie O noch in den Punkten 

 t,„t„ trifft, und dass die Tangenten T,„ T,, in diesen Punkten auch einen Kegelschnitt der Schaar vorstellen, 

 die durch den Büschel der Curven 3''^'^ Ordnung bestimmt wird. Schneidet y die Geraden T,„ und T,, ausser in 

 d und ^„,, resp. f„ noch in «/«', so liegen diese Punkte auf fl>' und die Gerade a' a.' geht durch (/'. 



Nach einem bekannten Satze über Curven 3'"' Ordnung werden dann alle Kegelschnitte ÜT,,, ,„ welche die 

 Curve ff in d berühren und durch /,„ und f„ gehen , die Curve y noch in Punktepaaren schneiden, deren Ver- 

 bindungsgeraden durch rf' gehen. Die Kegelschnitte /v»,,, sind aber gerade diejenigen, welche nach 10) die 

 Schaar der Quadrupel [^],„„ aus <I> ausschneiden, und wir haben daher folgende Sätze: 



Die acht Punkte zweier Quadrupel, die verschiedenen nicht conjungirten Systemen 

 [«Ä;], [A/] angehören, in denen die Kegelschnitte ßa UH(i Ä/,/ die *!> berühren, bilden die Basis 

 eines Curvenbüschels 3'" Ordnung, dessen 9*"'' Punkt </' nicht auf «P liegt, und dessen Cur- 

 ven aus *t> ein drittes System \mn\ von Quadrupeln ausschneiden. Die Kegelschnitte JCi«, 

 welche diese Quadrupel aus dem Doppelpunkte d von <^ projiciren, schneiden die Curve <f 

 des Büschels, welche durch d geht, nur noch in einem beweglichen Punktepaar, dessen 

 Verbindungsgerade durch d' hindurch geht. Die Curven des Büschels 3'" Ordnung durch 

 die acht Punkte schneiden die Kegelschnitte ^n,, sowie ^u, welche in dem einen und 

 andern Quadrupel die <I) berühren, in je einer quadratischen Involution. Beide Involu- 

 tionen haben einen gemeinschaftlichen Pol in s, einer Ecke des ^n und ^/,, gleichzeitig con- 

 jungirten Dreieckes. Die Strahlen, welche die Paare auf Ä,,, und ^j, ausschneiden, die auf 

 derselben Curve 3'"' Ordnung liegen, bilden in .s eine quadratische Involution, deren Doppel- 

 strahlen die Schnittpunkte der Kegelschnitte S',* und ^;,, tragen. 



22. Es lassen sich auch leicht ans den Zahlen i, k, h, l, welche für die zwei Systeme [Ik] und [liJ] cha- 

 rakteristisch sind, die Zahlen für das von den Curven 3'"'" Ordnung durch die beiden Quadrupel ausgeschnit- 

 tene dritte System [mn] angeben, und zwar durch folgende Sätze: 



a) Sind i, k, h, l vier von einander verschiedene Zahlen aus der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, so 

 sind m, ih die zwei noch übrigen Zahlen. 



Denn man kann zeigen, dass die d enthaltende Curve y, welche durch die beiden Quadrupel [Ä]a und 

 [Ä];,/ geht, dann <I> nur in den Punkten /„,, f„ schneiden kann, wo m, n von /, k, h, l verschieden sein muss. 

 Gesetzt nämlich, y ginge durch /,, dann muss noch ein Punkt t,, oder t, auf y liegen. Denn f wird dann von 

 der Curve 4,^" Ordnung * geschnitten in [^j,,,, [5?]*,, d, d, t^, t^'. Nun geht die Curve 4i«"' Ordnung, die aus 



