über Curven 4'"" Ordnung vom GescJdechte Zicei. 137 



den beiden Kegelschnitten Ka, und K,,, besteht, die durch [ß],,,, resp. [^]^, und (/ gelieu, durch die ersten elf 

 Punkte auf <j>, also müssen sich <t> und K^, auf schneiden, d. h. // ist entweder h oder /. Es kann h' nicht 

 mit k zusammenfallen, da sonst Ka mit f sieben Punkte gemeinschaftlich hätte. 



Ist nun Ä = Ä', so geht y durch i, und t,, und es muss die Curve 4'"' Ordnung des Büschels 



welche durch einen willkürlichen Punkt von f geht, diese als Theil enthalten. Der übrige Theil ist die 

 Gerade t^t/, die nicht durcii den Doppelpunkt d von <1> geht. Da aber d Doppelpunkt aller Curven des obigen 

 Büschels ist, so mUsste v in d einen Doppelpunkt haben, könnte also <I> ausser in (/, [^],/, und [^],,, nicht 

 mehr schneiden. Dies kann aber, wenn in den Doppelpunkt von <I) kein Wendepunkt von <I> fällt, nicht ein- 

 treten. Es muss also y die <t> in den Punkten t„„ t,^ schneiden, wobei m, n von /, h, h, l verschieden ist. Hieraus 

 folgt dann, dass das System der Quadrupel, welche der Büschel von Curven 'd^" Ordnung aus f ausschneidet, 

 das System [m, n] ist. 



h) Analog wird gezeigt, dass, wenn /=/( ist, dann |/«h]:=[ä;/] wird; d. h. legt man durch zwei 

 der Quadrupel [Ä],* und [W^n ein Büschel von Curven 3''"'' Ordnung, so schneiden die Curven 

 die Quadrupel des Systems [kl] aus. 



Nimmt man statt der Quadrupel aus den Systemen [Ik] und [IlI\ Quadrupel aus den 

 coujungirten Systemen [ik]' und [hl]', so ergibt sich wieder das System [mn\. Denn nimmt 

 man ein Quadrupel aus [ik] und eines aus [hl]', oder combinirt man zwei Quadrupel aus [/ A;]' 

 und [/(/], so erhält man das System [mn]', welches zu [inn] conjungirt ist, was sich aus Folgen- 

 dem ergibt. 



Der Büschel Curven 3'" Ordnung, welcher durch das Quadrupel [W\ik, sowie /,„, t„ geht und in d die 

 Curve y berührt, welche durch [^],7, und \B:]hi und d ging, deren Tangente in d nacli Früherem die Gerade 

 %mn sein muss, schneidet nämlich aus <I> das System [hl] aus, denn man zeigt leicht, dass die Quadrupel, 

 welche dieser Büscliel aus <I> ausschneidet, auch von den Kegelschnitten durch [!^]j,i ausgeschnitten werden. 

 Legt man daher die Curve S''"'' Ordnung 52' durch [W[nc uud ein Quadrupel, [ÄJ'a/, welches in dem zu [hl] 

 conjungirten System [/;/]' liegt, sowie durch (/, so muss y' nach Früiierem jedenfalls durch t,„, t„ gehen, kann 

 aber in (/ nicht. %,„„ berühren, muss also %',„„ berühren, da wieder die Curven, welche f' in d berühren, durch 

 t„„ tn und [ü]ii> gehen, das System ausschneiden, in welchem [Ä]'/./ enthalten ist, also das zu dem früheren con- 

 jungirte. 



Da nun die Curve f', welche durch [ß],i und [W\L geht, in '7 die Gerade %',„n berührt, so schneiden die 

 Curven des Büschels durch [^J,/, und [^],',i das System [mn]' aus, welches zu [mn], das die Curven durch 

 [^],4 und [W\ht ausschnitten, conjungirt ist. 



III. Die Doppeltangenten der Curve 4'^' Ordnung mit einem Doppelpunkte. 



23. In dem Systeme [12] der vierfach berührenden Kegelschnitte, dessen Gleichung in H, 13. aufgestellt 

 wurde 



Ü = H-l\l-2iJ.{l\ + T,) T, ,-2/ 2\ r, = (1) 



kommen sechs in Geradenpaare zerfallende Kegelschnitte vor. Unter diesen zählt aber das Geradenpaar 

 r, .J!j=:0, welches sich für ix ^ 00 ergibt, doppelt und die vier übrigen Werthe von a ergeben sicli ans 

 der Gleichung, die durch Nullsetzen der Discriminante von 1) entsteht, die sich in /jl auch blos vom vierten 

 Grade erweist. 



Diese vier Geradenpaare, die zerfallende Kegelschnitte von (1) darstellen, sind offenbar acht Doppel- 

 tangenten der Curve 4''^'' Ordnung O. 



In dem conjungirten System [12]', dessen Gleichung 



^ = H-h T,l-2p.{l\ - 2;) r,j-2;x» T^T,=0 (2) 



Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. LLII. Bd. Abhandlungen von Nichtmitgliedern. 9 



