138 Karl Bohek, 



\!i\, treten offenbar auch acht Doppeltangenteu als vier in Geradenpaare zerfallende Kegelschnitte des Systems 

 auf und diese acht Doppeltangenten müssen von den ersteren verschieden sein. 



Die Curve <1> kann aber sonst keine Doppeltangente besitzen. Denn sei D eine Doppel- 

 tnngente von (1>, welche in r}, u^ berührt, so lege mau durch q, o,, t^, t^ und d den Kegelschnitt K, welcher 

 <l> noch in d', S[ schneiden möge. 



Die Ciirven des Büschels 4''"'' Ordnung O+Ä/i^ = berühren in den Schnittpunkten von <t> mit K die 

 Curve fl> und haben alle in d einen Doppelpunkt. Die Curve, welche daher einen Punkt von T^ enthält, 

 niuss in 7', und eine Curve 3''^''' Ordnung zerfallen, die durch (/ geht, in t^ die Gerade T^ berührt und in o, Q^ 

 <I>, also auch D berühren muss. Daher zerfällt diese Curve 3''='' Ordnung in D und einen Kegelschnitt, der 

 aber wiederum in J\ und eine Gerade D' zerfallen muss, und D' muss <I> in den zwei letzten Schnittpunkten 

 d', 5,' berühren, also eine Doji])eltangeute von 4» sein. Daher muss DD' als vierfach berührender Kegel- 

 schnitt in dem System [12] oder [12]' auftreten. 



Da nun in jedem der 30 Systeme vierfach berührender Kegelschnitte stets vier in Geradenpaare zer- 

 fallende Kegelschnitte auftreten (die nicht durch den Doppelpunkt gehen), so müssen sich die 16 Doppel- 

 tangenten in diese Systeme einordnen. Das umfasst auch 4.30= y^lQ.lb alle Combinationen zu Zweien 

 der 16 Doppeltangenten. 



Zufolge des in 11 sub 12. bewiesenen Siitze liegen die acht Berührungspunkte je zweier 

 Paare von Doppeltangenten, die in einem System auftreten, auf einem Kegelschnitte. 

 Solche vier Doppeltangenten treten dann aber in drei verschiedenen Systemen auf. Da in einem System vier 

 Paare vorhanden sind, so geben diese sechs Kegelschnitte, die durch je acht Berührungspunkte zweier Paare 

 gehen, und es sind daher im Ganzen 73.6.30 ^ 60 Kegelschnitte vorhanden, welche durch die Berülirungs- 

 pnnkte von vier Doppeltangeuten gehen. 



24. Es seien DiD„ ein Paar Doppeltangenten, welche in dem System [ilk^] liegen und D,< D,,i irgend ein 

 Paar, welches in dem zum ersteren conjungirten System [/, A;,]' liegen. Dann bilden die acht Berührungs- 

 punkte der vier Doppeltangenten die Basis eines Curvenbüschels 3'" Ordnung, dessen 9'" Punkt in d liegt 

 und dessen Curven y die <I> in Paaren der g[p schneiden. 



Es wurde aber in II sub 20. auch die Umkehr dieses Satzes bewiesen und hieraus folgt tür die Doppel- 

 tangenten AA., Di<Dk', welche ein Quadrupel bilden sollen, dass wenn DiDt und Di<Dk< conjungirten 

 Systemen angeboren, auch 2),A' und D,.Dt' in conjungirten Systemen auftreten müssen, 

 ebenso wie DiD,,' und Z>, • D^. 



Wir wollen nun zeigen, dass diese drei Systeme stets nur durch drei von einander ver- 

 schiedene Zahlen charakterisirt werden. Dass also, wenn DiD^ in [/, Ä;,] liegt, dann A A' i" [^'i ''il 

 und D,Dk' in [h^^^\ oder den conjungirten liegen muss. 



Wir haben in II sub 15. gezeigt, dass zwei Kegelschnitte ^, Ä' aus conjungirten Systemen, stets in 

 zwei solchen Quadrupeln O berühren, dass der Büschel Curven 3''"' Ordnung durch diese acht Punkte, 

 die Kegelschnitte ^ und S' noch je in Punktepaaren trifft, so zwar, dass die Curve y in zwei Paaren 

 schneidet, in welchen ein ^ und S' doppelt berührender Kegelschnitt existirt, der f noch in einem 

 Punktepaar auf * trifft. Sind nun ^, ^' zwei Paare Doppeltangenten, so werden die berührenden Kegel- 

 schnitte die Kegelschnitte der Schaar vorstellen, welche die vier Doppeltangenten zu festen Tangenten 

 besitzen. 



Der Curvenbüschel 3*'^'' Ordnung schneidet nun jede der Doppeltangenten in einer zu ihm projectivischen 

 Punktreihe, also werden die Kegelschnitte der Schaar auf den Büschel Curven 3*" Ordnung projectivisch 

 bezogen sein. 



Der Curvenbüschel 3'" Ordnung ist aber projectivisch zum Strahlenbüschel, welcher aus d die Paare a« 

 projicirt, in denen die Curven f die <I> schneiden. Da durch dieses Punktepaar auch der Kegelschnitt der 

 Schaar geht, welcher <f zugehört, so ist der Strahlenbüschel in (/ projectivisch auf die Schaar der Kegel- 

 schnitte durch die Paare a« von <1> bezogen. 



