Ühcr Ciirren 4'"'' Ordninig vom Geselilcchte Zivei. 139 



Wir haben also den iu I siib 7., S. 8 betvachteteu Fall. Um mit den daselbst eingetuhrten Bezeiclinungeu 

 in Übereinstimmung- zu bleiben, wollen wir voraussetzen, dass das Doppeltangentenpaar D^D^ in [12] und 

 DgA, iu [12]' auftritt. Die übrigen Doppeltangenten seien vor der Haml mit Dr^D^. . .D, g bezeichnet. 



Transformiren wir dann die Gleichung der Curve <I>, die wir bislang in der Form S. 11, Gl. (23) voraus- 

 setzten, auf das Diagonaldreiseit des von den Doppeltangenten D,, D^, D^, D.^ gebildeten Vierseites, so werden 

 sich drei einander äquivalente Formen ergeben: 



*^, = i2^+(i+r^-rj)7;2^, + .^7^ (3) 



die gleich N U gesetzt die Gleichung derselben Curve ^1» darstellen, deren vier Doppeltangenteu 



7), = r,+T2 + r.j =0 

 Z>2 = r,— Tj— T3 = 



Z>, = r,+r,-r3=0 



(4) 



sind. Hiebei muss 



T, 



'f\ = ^i^i + K^i + K^i 



T 



(5 



r, + T, + T, = 0, 



d. h. cii+b.+d = sein. Der Schnittpunkt der drei Geraden ist der Doppelpunkt (7 von * und T^, 1\, 'I\ 

 sind drei der Tangenten von <I), die in <„ t^, t^ berühren, welche Punkte auf r,, r^, z^ liegen, wie in I. 7. 

 gezeigt wurde. 



Wir haben ferner in 11 sub 19., S. 19 gesehen, dass zwei vierfach berührende Kegelschnitte aus conjun- 

 girten Systemen einander in vier Punkten schneiden, so dass ein Paar der Schnittsehnen, durch die Berüh- 

 rungspunkte der Tangenten aus d gehen, welche in dem System enthalten sind. 



Da nun im obigen Quadrupel sich D^D^ und D^D^ auf Tj und D^D^ sowie D^^i ^^'^ ^z schneiden, so 

 gehört, der aus den Doppeltangenten 1J^D^ bestehende Kegelschnitt dem System [12] an, und I\I).^ dem 

 System [12]'. Das Geradenpaar 7), 7), and I)^D^ hat aber als Schnittsehnen die Geraden T^, r,, also liegen 

 sie in dem System [13] und [13]', während 7J, 7)^ und D^D^, da ihre Scliuittsehnen r^, t^ sind, in [23] und 

 [23]' liegen. Welches System man mit einem Strich versieht, ist gleichgiltig. Hiemit ist die obige Behauptung, 

 bezüglich der drei Systeme, in welchen die Doppeltangenten eines Quadrupels liegen, erwiesen. 



25. Wir wollen ein solches Quadrupel von Doppeltangenten, dessen acht Berührungspunkte die Basis 

 eines Curvenbüschels 3'"'' Ordnung bilden, dessen 9'"'' Punkt der Doppelpunkt von <^ ist, mit 





(»»,«, jj, = 1, 2, 3, 4, 5, Ü,) 



ninp 



bezeichnen, und zwar sollen dann 1),D/, in dem System [mn], Dil),, in dem System [w^j] und D/,I)/, in dem 

 System [mp] liegen, wobei das andere Paar immer im conjungirfen System auftritt. ' 



1 Mau kann aus den Gleichungsformen (3) und den in I für 7vii' abgeleiteten Kegelschnittsgleichungen (17) auch die 

 Systeme augeben, in welchen die Doppeltaugeutenpaare auftreten. Man kann auch sehr leicht die Gleichung des Systems 

 der vierfach berührenden Kegelschnitte aufstellen, welchem die einzelnen Doppeltangentenpaare angehören. Aus den Iden- 

 titäten : 



= [v 'J\ '1\ + T,T., + To r,]'-' + '1\ T, [(r j-r.,)ä-73--'-2v (r, T., + r., '1\) - V^ 'l\ T.,\ 



