140 Karl Bohek, 



Da in jedem System vier in Geradenpaare zerfallende Kegelschnitte auftreten, also vier Paare Doppel- 

 tangenten, eben so viele in dem conjungirten Systeme, so liefert ein System nnd sein conjungirtes 16 Qua- 

 drupel. Weil aber jedes Quadrupel in drei verschiedenen Systemen und den dazu conjungirten enthalten ist, 

 so erhält man '/a-l*^- ^^ ^ 8U Quadrupel von Doppeltangenten. 



Da jfdes Quadrupel zu einer canouischen Gleichungsform (3) Anlass gibt, so ersieht man, dass es blos 

 80 verschiedene canonische Gleichungsformen wie (3) gibt, wobei die drei Formen (3) als nicht wesentlich 

 verschieden von einander betrachtet werden. 



Hieniit ist die in I sub 9. gemachte Bemerkung gerechtfertigt. 



Die drei Diagonalen des Vierseits, welches von einem Quadrupel von Doppeltangcnten gebildet wird, 

 sind Gerade, welche zwei Schnittpunkte von Doppeltangenten enthalten und durch einen der Punkte tt gehen. 

 Solcher Geraden gibt es also 3.80 = 240, und durch jeden Punkt ti gehen mithin 40 derselben. 



Durch einen Schnittpunkt zweier Doppcltangenten gehen blos vier dieser Geraden. Die zwei Doppel- 

 tangcnten sind nämlich als Paar in einem System [ih] enthalten, in welchem auch die Tangenten T,, T^ auf- 

 treten. Die Geraden nun, welche den Schnittpunkt der Doppeltangenten mit den vier übrigen Punkten ^ ver- 

 binden, enthalten stets noch einen Schnittpunkt von zwei Doppeltangenten, die im System [ik]' liegen, und 

 die vier Paare dieses Systems bestimmen. Dies gibt, da es '/^ 16. 15 ^ 120 Schnittpunkte der Doppeltangen- 

 ten gibt, wieder oben 72-4.120 = 240 solcher Geraden, die zwei Schnittpunkte von Doppeltangenten ent- 

 halten und durch die Punkte t^ gehen. 



26. Seien nun I),, I)^, D/, irgend drei Doppeltangenten von «t und es mögen B^Di in dem System [/, A-,] 

 Dil),, in dem System [i^k^] als Paar auftreten, dann Wegen Dt D/, in einem System [«jA^j], wobei sich die 

 Zahlen («3, ä-j) aus den Zahlen (/,, l■^) und (i^, k^) durch folgende Regel bestimmen: Sind (?',, k^) von den 

 Zahlen {i^, k^) verschieden, so ist («3, k^) das noch übrige Zahlenpaar der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

 Ist aber eine der Zahlen z. B. i^ = ^^, so sind die /Wahlen {i^, k^) gleich (k^, k^). 



folgt, dass die Kegelschnitte 



s„ = D, D^--2v{-, n-r^ r,) - v2 r, t^ = 



t'j, = D^ D3 — 2v (r, T^ + T,r,)- v2 T,T„ = 



die Curvc <1> vierfach berühren, und dass in demselben nebst dem doppelt zählenden, für v = 00 sich ergebenden Geraden- 

 paar Tj, T'2 noch die Doppeltangenten D^ D^ in [12] und D^ D^ in [12]' für v = auftreten. 

 Analog folgt aus 



<D,3 = [v 7'2 7-3 + z., Tj-rj n]i + T. T, [(-,, + r^j^ - rj2_2v (r., T,-.^ T.) - v'^ T„ Tg] 



= [v T. T3 + r, Tj + r, T^f^ + 2\ 1\ [(y-s-H)' - ^^-^ (^ T^ + rj T.) - v2 T^ T^\ , 



dass die Kegelschnitte 



^23 = Di D., + 2v (r.3 T^~T./r,)+ v2 n Tg = 



S"„3= IX I\ + 2v (r,, Tg + r, '/'„) + v2 n T3 = 



dem System [23] und [23]' angehöreu, währeud aus 



<1>,3 = [v 7'3 T, + T, T,+r, T,]^ + T3 T, [(^3-^^)2 _:.|_2v(r3 T,+r, ^3)- v^ 7-3 T,] 

 = [v Ts r, + rg T,-z, 7'3]2 + 7-3 T, [{z, + r,)2 - r| - 2v (rg T, - r, T,) - V^ 7-3 7',] 

 sich ergibt, dass die Kegelschnitte 



,ti3 = Ih 1)^ + 2v (rg 2\ + r, T^) + v3 Tg T, 

 ri3= DJJs-2v{z.^ 7\-r, 7'3)-v-' 7-3 T, 

 das System [13] nnd [13]' bilden. 



In jedem der Systeme sind noch drei Paar andere Doppeltaugenten enthalten. Die Discriminante der Gleichungen wird 

 auch in v blos vom 3'«"' Grade. 



Die Gleichung für Sfjj zeigt auch, dass i), = von den Kegelschnitten des Systems [12] in einer quadratischen Invo- 

 lution geschnitten wird, die auch den Kegelscliuittsbüschel vT,'J\-h2(z/l2—r^'I\) = () auf ihr ausschneidet. Des Weiteren 

 cfr. Ameseder 1. c. S. 41. 



