über Curven 4'"'' Ordnung vom Geschlechte Zwei. 141 



Diese Regel folgt aus den in II siib 22., S. 20 bewiesenen Sätzen. Wir haben daselbst gezeigt, dass der 

 Büschel Curven 3'"'' Ordnung, welcher durch die acht ISerühiungspunkte zweier Kegelschnitte geht, die ver- 

 schiedenen nicht coujungirten Systemen angeliören, ein drittes System von Quadrupeln ausschneidet, dessen 

 charakteristischen Zahlen sich durch die eben augeführte Regel bestimmen. Nehmen wir nun die beiden 

 Kegelschnitte Z*,, Dk und i»,, Z>,„ die verschiedenen nicht coujungirten Systemen angehören müssen, so wird 

 der Büschel von Curven S''-"'' Ordnung die Gerade D, offenbar als festen Bestandtheil enthalten, und der Rest 

 ist also ein Kegelschnittsbüschel durch die vier Berührung.s]iunkte von D., D^. Dieser Büschel schneidet aber 

 ein System von Quadrupeln aus, zu dem auch seine Basispnnkte gehören. 



27. Die in den vorhergehenden Nummern 23., 24., 25. und 26. gegebenen Sätze über die Gruppirung 

 der Doppeltangenten setzen uns in den Stand, sobald wir die Doppeltangenten einmal in Beziehung zu den 

 Punkten f, gesetzt haben, ihre Anordnung in alle 30 Systeme zu geben. 



Wir bemerken hiezu, dass, wenn die Doppeltangenten blos als zerfallende Kegelschnitte eines Systems 

 [il] und des conjungirten gegeben sind, hieduvch die einzelnen Doppeltangenten eines Paares von einander 

 niclit unterschieden sind. Erst wenn wir aus irgend einem Paare und einem solchen aus dem conjungirten 

 Systeme ein Quadrupel bilden, dem noch ein dritter Punkt th zugewiesen wird, werden die Doppeltangenten 

 eines Paares getrennt, und es ist über die Punkte tc, tt, tu verfügt. 



Wir können nun folgende Annahmen machen: Es mögen in dem System 



[12] die Paare i>, Z^, £»5 i>8 , -^^ ^>,2 - ^^,3-0 



IC 



in 



[12]' „ „ hj),. I>,IK, I\,I\,, />„/)„ 

 auftreten. Aus ihnen bilden wir die Quadrupel: 



^n.Djtri ^DJjJn, U.o^Ai-'i^s ^IJ,,l^,rM' 



Hiedurch sind die 16 Doppeltangenten individualisirt und es ist über die Punkte t^, t^,t^ verfügt worden. 

 Über die Punkte t^, f^, ig verfügen wir durch die Quadrupel: 



rD, i),-| rZ). D, n rZ). D, -, 

 Lz>,Z>,J,n ^D^.D.^lr. ^D^.dJ^, 



und haben damit die willkürlichen Annahmen erschöpft, indem alle Punkte <, in Verbindung mit den 16 indi- 

 vidualisirten Doppeltangenten gebracht sind. In derThat gelingt es nun mit Hilfe der in 26. angegebenen Regel 

 die Einordnung der Paare der Doppeltangenten zu je acht in die 15 Systeme [ik] zu bewiiken. 



Legt man hiezu eine Tabelle nach Art der folgenden Tabelle I an, indem man in dem Quadrat, in 

 welchem sich die Columne von Z>, mit der Zeile von Z>4 schneidet, die Zahlen h, l einträgt, so dass DiD, im 

 System [hl] liegt, so kann man zuerst die Combinationen einschreiben, die sich aus den gemachten Annah- 

 men ergeben. Man erhält hiedurch 30 der Quadrate ausgefüllt und die sehr leicht anwendbare Regel in 26. 

 gibt die Ausfüllung der übrigen Quadrate. 



Hiedurch luit mau 15 Gruppen von je acht Paaren von Doppeltangenten und es kommt noch darauf an, 

 in jeder Gruppe die vier Paare des einen Systems und des dazu conjungirten anzugeben. Dazu hat man 

 erstens den Satz anzuwenden, dass die vier Doppeltangenten, deren acht Berührungspunkte auf einem Kegel- 

 schnitte liegen, stets zwei Paare eines Systems vorstellen müssen, dann aber auch den Satz, dass, wenn die 

 vier Doppeltangenten Z>„ D,,, Z»,,, Z>, ein Quadrupel bilden, die drei Systeme, denen sie als Paare angehören, 

 nur drei verschiedene Zahlen besitzen können. Unter einem Quadrupel von Doppeltangenten ist stets 

 ein solches zu verstehen, wie es in 24. betrachtet wurde. 



In der Tabelle I wurden die Systeme [//, | und |/A]' durch die Zahlen il- und il; charakterisirt. 



