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Die sechs Tangenten T, sind immer mit den sechs Doppeltangenten einer Columne in einem System von 

 adjungirten dreifach berührenden Kegelschnitten enthalten, und zwar bildet jede Tangeute mit der Doppcl - 

 tangente derselben Zeile ein Paar. 



30. Die cauonische Gleichungsform der Ciirve 4'*^^'' Ordnung 



erlaubt audi die Gleichung des Systems der dreifach berührenden adjungirten Kegelschnitte in einfacher 

 Weise aufzustellen, welches der Tangente 7', und der Doppeltangente D^ entspricht. 

 Aus der Identität 



wobei 



ist, ersieht man, dass die Kegelschnitte 



x = D, r,-2v(T, 7;-r, 7',)-v^i>,7; = o, 



welche durch den Dopptlpunkt von *I> gehen, für alle Werthc von v die Curve O noch in drei Punkten 

 berühren. 



In dem System ist für v — 0, y = oo auch das Paar D^ '1\, resp. D^ '1\ enthalten. 



Dieselbe Form <\\^ kann zur Aufstellung des Systems verwendet werden, welches J\D^, TiD^ und 

 TfD^ enthält. Mau kann nämlich eine der obigen analoge Identität aufstellen, wobei nur statt t/T^ — T^T^ 

 + vD^T^ eine andere Function genommen werden muss, die sich aus den S. 10, Gl. (17) abgeleiteten Glei- 

 chungen für die Kegelschnitte K,-/c ergibt. 



Anmerkung: Die Curven 4''" Ordnung ohne Doppelpunkt haben 63 Systeme vou vierfach berührenden 

 Kegelschnitteu und 28 Doppeltaugeiiteu. Ändert man die Constanteu einer solchen Curve so ab, dass sie 

 einen Doppelpunkt erhält, so übergeht eiu System der Kegelschnitte in die doppelt gezählten Geraden durch 

 den Doppelpunkt, 32 Systeme übergehen in die 16 Systeme adjuugirter Kegelschnitte, die noch in drei 

 Punkten berühren, und nur 30 Systeme eigentlich vierfach berührender Kegelschnitte bleiben als solche 

 bestehen, die wir in 11 betrachtet haben. Vou den Doppeltangenten bleiben nur 16 erhalten, die 12 übrigen 

 übergehen in die sechs Tangenten vom Doppelpunkte an die Curve, die also jede zwei zusammengefallene 

 Doppeltangenteu vorstellt. Dies stimmt auch damit iiberein, dass ein solches Tangeutcnpaar aus dem Doppel- 

 punkte stets in einem der 30 Systeme vierfach berührender Kegelschnitte doppelt als zerfallender Kegel- 

 schnitt zählt, wie in III, sub 23. gezeigt wurde. 



Zweite Abtheilung. 

 Besondere Curven 4'«'^ Ordnung vom Geschlechte Zwei. 



1. Wir haben in der ersten Abtheilung sub I gezeigt, dass sich die Gleichung einer allgemeinen 

 Curve 4'"'' Ordnung mit einem Doppelpunkte auf die Form 



<l> = Cr\ + Tl)Tl,+2T/l\lI (1) 



bringen lässt, wobei 



'st. Durch Specialisirung der Constanten a.i erhält man besondere Curven. 



