über Curveii 4^'-''' OrdnuiKj vom Geac/ilechte Zwei. 145 



Wir wollen im Naclisteheiulen solche Curven betrachten, welche im Doppelpunkte einen oder zwei 

 Wendepunkte besitzen, oder die statt des Doppelpunktes eine Spitze haben. 

 Wir bemerken hiezu Folgendes: Aus der Gleichung der Curve «t 



folgt, dass die beiden Geraden, deren Gleichung 



ist, die Doppelpunktstangenten von <t> sind. Ist also «33 ^±1, so erhält *t> eine Spitze, deren Tangente 

 r, dr 1*2 = ist. Ist aber «;]3:5^1, so werden die Doppelpunktstangenten nicht zusammenfallen, und jede 

 schneidet <J> in dem Punkte, in welchem sie den Kegelschnitt 



noch tritft. Soll also eine der Doppelpunktstangeuten Wendetangente von <I> werden, so muss der letzte 

 Schnittpunkt auch in den Doppelpunkt (/ fallen, d. h. die Gerade 



muss eine der Geraden 



Tl+Tl + 2a,,T,T, = 

 werden, oder es ist 



«?3 + «23^2 «3 3 a, 3 «2 3 = . (4) 



Ist nun a,3^0, «J3^0, so wird unter der Bedingung (4) 



und daher 



''i 3 ^2 3 ■ 



(5) 

 (a,3T,-f-a,3 T,) {a,, T,+a, , T,) T\, + 2T, T, [a, , T\ + a,, Tl + 2a, , T, T, + 2{a, , T,+a, , T,) T, ,] 



woraus ersichtlich, dass die Gerade 



a,,T, + a,,T,^0 (6) 



die Curve * im Doppelpunkte in vier zusammenfallenden Punkten schneidet, also daselbst Wendetangente ist. 



Ist aber «,3 = 0, so muss auch a^^ = sein, wenn im Doppelpunkt ein Wendepunkt auftreten soll (zu 



Folge (4)), dann treten aber auf beiden Zweigen Wendepunkte auf. Denn dann wird die Gleichung der Curve 



<I> = ^Tj+ r,^ + 2«33 T, T,^ T?, + 2 T, T, [a, , T]+a,,Tl + 2a, , T, T,] = 0, (7) 



woraus man ersieht, dass jede der beiden Geraden 



T\+T\ + 2a,,T,T,=0 



die Curve <I> nur in dem Doppelpunkte d tritft, nämlich in den Schnittpunkten von T^ =0, '1\ =0, und im 

 Scheitel des Geradenpaares 



a,,T\ + a,,Tl + 2a,,lYl\^^). 



Ist schliesslich »33^ — 1, so wird 



<^ = {,T,-T,yT], + 21Yl\[a,,T\ + a,,Tl + 2<,,,T, T, + 2a,,'l\ 'l\,+2a,,T,J\,] =0 (8) 



die Gleichung der Curve, aus welcher ersichtlich, dass die Spitzentangente 1\ — 7!j = die <I» nur in dem 

 Punkte trift't, in welchem diese Gerade den Kegelschnitt 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. LIII. Bd. Abhaudlungeu von Nichtmityliedcrn. t 



