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schneidet. Dieser Kegelschnitt gebt durcli die Spitze von 0) und berülirt <I» nocli in drei Punkten. .Sollte nebst 

 «33 ——^ '''"c'i °opb (4) gelten, was 0,3 = — «^3 geben würde, so hätte die Curve <I> einen Selbstberlihrungs- 

 punkt im Punkte 1\ = J\ = U mit der Taugente '1\ — '1\ — und wäre vom Geschlechte 1. 



Wir wollen nun die Systeme vierfach berührender Kegelschnitte und Doppeltangenten dieser besonderen 

 Cnrven untersuchen. 



I. Die Curve 4'«"^ Ordnung, welche im Doppelpunkte einen Wendepunkt hat. 



2. Hat die Curve 4''^^'' Ordnuug im Doppelpunkte (/ einen Wendepunkt, so gehen von d hlos fünf Tangen- 

 ten, jT,, 1\, Tg, T4, r,_ an dieselbe, welche in t^, f^, t.^, f^, t die Curve berühren, wobei die Punkte f,- ausser- 

 halb rf fallen. Als sechste Tangente tritt die Wendepunktstangente X des einen Zweiges hinzu. Die '/2-5-4 = 

 = 10 Systeme von vierfach berührenden Kegelschnitten, welche den Combinationen T,, Tt entsprechen, 

 bleiben offenbar erhalten, denn die Cleichung der Curve 



mit der Bedingung 



<-) + «23— 2«33«I3«23=<^ 



kann genau so behandelt werden, wie in II sub 12., und man erhält so 20 Systeme vierfach berüh- 

 render Kegelschnitte, die paarweise conjungirt sind, und die Quadrupel derselben werden aus d durch 

 Kegelschnittsbüschel projicirt, welche in d die Tangenten 2:^, rcsp. %,, haben und durch t^, h hindurch- 

 gehen. 



Den fünf Combinationen der T, mit X entsprechen dann noch fünf Paare besonderer Systeme vierfach 

 berührender Kegelschnitte. Die Kegelschnitte, welche die Quadrupel aus d projiciren und durch 

 ti gehen, osculiren einander in d und haben X zur gemeinschaftlichen Tangente. 



Denn setzen wir -^ = (J, so übergeht die Identität (5) in 



1 2 



* = ^^'+^^^)(^'+y ^0 + fZ:^^.^^[«..2^i+«..r^+2«,,r,T,+2«,3(r.-4-dr,)r.,] (lO) 



«13 «2 3 



setzt man nun 



woraus 



T, + ST,=X, 



T, =X-dT^ 



wird, und führt statt T^, T^ in (10) die Geraden X, T^ ein, wobei X — die Wendepunktstangente ist, so 

 wird nach (10) sich für O die Form 



^\>~X:'T]^+o.Tl+XT^H' (11) 



ergeben, wobei « r= -^ ^ von Null verschieden sein muss und 



«13 «23 



H'=a,,X^+a,,Tl+a,,T], + 2a,,XT, + 2a,,XT,, + 2u,,T,T,, 

 ist. 



Nun folgt aus der Identität 



<I> =[,j,Xr, + (.YT,,d= V/« T-;)f+XT^[H':^2 \/7 T, r,,-2,a(Xr,2rfc \/a T^)-fx*XT,], (12) 

 dass der Kegelschnitt 



K= ixXT^ + {XI] 2 + V^Tl) = (13) 



die Curve <I) ausser in t^ und d noch in vier Punkten trifft, in denen der Kegelschnitt 



^ = H'~2\/l^'lYI\^-2ix{X'l\^-h\/l^Tl)-p.'XT^= (14) 



