über Ciirven 4'^' Ordnung von) Gesrhlcchfc Zwei. 147 



die 4> berührt, während der Kegelschnitt 



K' = IJ.X T, -f- (Z 'J\ ,— \J^. TD = (13 a) 



die <i> in den vier Punkten schneidet, in welchen sie vom Kegelschnitte 



t' = H' + 2 v/^ T, T, ,-2 p. (•/ T, ,- S/^TI) — a^Xi; = (14 a) 



berührt wird. 



Die Kegelschnitte (14) beschreiben bei variablem ;jl das System, welches als speciellen Kegelschnitt für 

 fx = oo das Geradenpaar X, 7\ aufweist. Die Kegelschnitte (14 a) beschreiben das hiezu coujungirte 

 Sj'stem. 



Die Quadrupel des Systems (14) werden, wie (13) zeigt, durch einen Kegelschnittsbüschcl ans (/ proji- 

 cirt, dessen Elemente durch den Punkt t^ gehen und sich in d osculiren. Die gemeinschaftliche Taugente ist 

 A'. Die Kegelschnitte (13) osculiren den Kegelschnitt 



welches ein Kegelschnitt des Büschels von Kegelschnitten ist, die in (/ und t^ die Geraden X und T, ^ berüh- 

 ren. Die Kegelschnitte (13a) osculiren den Kegelschnitt 



desselben Büschels. 



II. Die Curve 4*«"^ Ordnung, welche im Doppelpunkt zwei Wendepunkte hat. 



3. Haben beide Zweige der Curve 4^«"' Ordnung im Doppelpunkte d Wendetangenten, so gehen von r/ 

 an <I> nur mehr vier Tangenten T^, 1\, T.^, T^, die ausserhalb d iu den Punkten t^, t.^, f^, f^ die <I> 

 berühren. 



Diesen vier Taugenten entsprechen '/j •4-3 = 6 Systempaare von vierfach berührenden Kegelschnitten, 

 wie sie in II der ersten Abtheilung betrachtet wurden, die Kegelschnitte, welche aus d die Quadrupel proji- 

 ciren, berühren hiebe! die Geraden %i,,. oder Z'n, und gehen durcli ^ und tl. 



Hiezu treten noch 2.4 Systempaare von der Art, wie sie eben in I betrachtet wurden, die durch Com- 

 bination der vier T, mit einer der Wendepunktstangenten X, oder Xj erhalten werden, und deren Quadrupel 

 ans d durch Kegelschnitte projicirt werden, die durch t, gehend, einander iu d osculiren, indem sie eine 

 der Wendepunktstangcnteu berühren. 



Zu diesen Systemen tritt dann noch ein besonders ausgezeichnetes Systempaar hinzu, das wir näher 

 betrachten wollen, welches der Combiuation der beiden Doppelpunktstangenten A',, A'^ entspricht. 



Wir haben gesehen, dass in diesem Falle die Gleichung der Curve 4'*' Ordnung- die Form 



c^ = (^^+^^+2a,3T, T,)7-, + 2T, T,[a,/ri + a,,Tl + 2a,,T, T,] = (15) 



annimmt. 



Wir setzen 



T] + Tl-^-2a,/J\l\ = X,X„ 



so dass A, = 0, A'^ = die beiden Wendepuuktstangenten sind, und führen statt 7',, 7\ die A', , A'^ ein. 

 Wir erhallen dann für <l> die Gleichungsform: 



*, = A, A, rj, + [a„A"J + «, A-; A, + «, AJ A| + «3 A, A-^+a, A*] = U, (16) 



indem das zweite Polynom in (15) die Grösse T, ^ nicht enthält. 



Aus (16) oder auch (15) ersieht man, dass die Punkte f^, t^, t^, i^ alle auf derselben Geraden 'J\^ liegen. 



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