148 Karl Bohd-, 



Wir bezeiclincu diese Gerade daher besser mit X^ und erhalten 



*„ = .Y, A; XI + «0 X\ + a, X\ X, + a, A7 X^ + «3 X^ A1 + a, Z| = (17) 



als Gleichung der Curve 4^'"' Ordnung, in deren Doppelpunkt zwei Wendepunkte fallen. 

 Aus der Identität 



(18) 



% = [\/cc^Xl±\yoc^Xl-hif.X^X^Y+X\ X,[A^ + «, XJ + «,X,X, 



+ «3 A1^2n/^ X, A; - 2 ^ ( V^ AJ ± V^^ AI)-|xM', A-,] 



deren Richtigkeit sich durch die Reduction leicht ergibt, folgt, dass das Geradenpaar 



K = V'^ A'^ + v/^ ^l + f^ A, X, ( 1 9) 



die Curve <!)„ in zwei Punktepaareu aa, hß der auf <I>g existirenden g['^ trifft, in welchen <I>o von dem 

 Kegelschnitte 



t = A-^ + a, X=+ 0(3 A^ + «, X, X^—2\/^^ X, X,— 2p. (^^ Xj+ \/^ A^j-z^^X, X^ = (20) 



berührt wird. 



Ebenso schneidet das Geradenpaar 



K = V/^ XI— v/^ XI + IX X^ X\ (^ 1 9 a) 



die <I>j in den zwei Funktepaaren «' «', i' (3', in welchen der Kegelschnitt 



r = X^+a,XJ + a3X^ + «^X,X; + 2 \/^ A,X,— 2p.(v/^A^— V/^X^)— |^«X,Xj( = (20a) 



die (t>g berührt. Man erhält auch nicht mehr als zwei solcher Systeme. Das Einführen von — \/'% an Stelle 

 von V «0 wird durch Änderung des Vorzeichens von ^ compensirt. 



In beiden Systemen vierfach berührender Kegelschnitte Ä und ^' tritt für |u^ = cx) das Geradenpaar 

 X,, Xj auf. 



Wir haben daher: Hat die Curve 4'" Ordnung <I> im Doppelpunk te auf jedem Zweige einen 

 Wendepunkt, so treten zwei einander conjungirte ausgezeichnete Systeme von Quadrupeln 

 von Punkten auf, in denen Kegelschnitte die <t> vierfach berühren. Die vier Punkte eines 

 Quadrupels bestehen aus zwei Paaren der ^^^ von O und werden aus d durch je eine 

 quadratische Strahleninvolution projicirt. Ein Paar beider Strahleninvolutionen sind die 

 Wendetangenten X",, X^ des Doppelpunktes, die auch einen Kegelschnitt beider Systeme 

 vorstellen. 



Dass umgekehrt das Auftreten eines solclien ausgezeichneten Systems von Quadrupeln von Punkten 

 hinreicht, dass (t» in dem Doppelpunkt Wendepunkte besitzt, wurde bereits in der ersten Abtlieilung II. subM. 

 S. 131 gezeigt. 



4. Die Gleichungen (20) resp. (20a) lassen erkennen, dass die Kegelschnitte dieser ausgezeichneten 

 Systeme die Gerade A'j zur Polare von d besitzen. Dies folgt übrigens auch daraus, dass die Paare der gW 

 auf den Strahlen von d harmonisch getrennt sind durch d^ und X^. Daher schneiden einander je zwei Kegel- 

 schnitte der conjungirteu Systeme in vier Punkten, die paarweise auf Strahlen durch d liegen. 



In jedem der Systeme liegen vier Paar zerfallende Kegelschnitte, welche acht Doppeltangenteu von «I> 

 sind. Der Schnittpunkt jedes Paares muss auf A3 liegen und beide Doppeltangenten werden durch A' und d 

 von einander harmonisch getrennt. 



Hieraus folgt, dass jedes Paar Doppeltangenten von den sieben Paar anderen Doppeltan- 

 gcnten in 4.7 = 28 Punkten getroffen wird, die paarweise auf 14 Strahlen durch d liegen. 

 Dies gibt V^. 8. 14 = 56 Strahlen durch d, auf denen 112 Schnittpunkte der 16 Doppeltan- 

 genten liegen. Die acht noch fehlenden liegen auf A3. 



