tjher Curven 4'^" Ordmtng vom GesMechte Zwei. 149 



III. Curven 4'6'- Ordnung mit einer Spitze. 



5. Die Gleichung der Curve 4''^'' Ordiuiiig <I>, mit einer Spitze kann stets auf die Form 



<I., = (T-T,fJ\ + 2 1\ 2;[«, , 'P,+a,, Tl + 2a, , T, l\ + 2a,,'l\ 7'. , + 2«,, '1Y1\,\ (21) 



gebracht werden, wobei T,, 'i\ zwei der Tangenten aus der Spitze s an <1>, sind, und T^ — J\ =0 die Glei- 

 chung der Spitzentangente % ist. 



Von der Spitze s gehen au *!>, sechs Tangenten 1\, T^, T^, 1\, T.^, T^, deren Berührungspunkte f,, t^, f^, 

 t., fr, t- auf <I>j, von einer Curve 3'"^"^ Ordnung F ausgeschnitten werden, die in .s eine Spitze hat, und dieselbe 

 Spitzentangente % besitzt, wie <I>j. F ist die erste Polare von s für <!>,. Mau kann daher <I>, auf 15 verschie- 

 dene Arten auf die Form (21) bringen. 



Die Systeme vierfacli berührender Kegelschnitte ergeben sich aus der Identität 



«I>. = [2^7;T, + (,r,±2V)r,,r+27^,n[//,q=r.\--2fx(7;±2V)r,,-2^''T,T,| (22) 



wobei 



H,=a,/l- + a,,Tl-Tl + 2a,/I\T, + 2a,,T/f,, + 2a,,7Yl\, (23) 



ist. 



Das System [12] besteht aus den Kegelschnitten 



^ = a,,^ + a,,Tl-2Tl,+ 2a,/I\T, + 2a^,T/J\, + 2a,,T,T,,-2i4T, + T,)T,,-2!.'T,T,=(), (24) 



die in den vier Punkten berühren, in welchen die Kegelschnitte des Büschels 



2 IX 'L\ l\ + a\ + 1\) y, 2 = (25) 



die <l>. noch schneiden, ausser den allen gemeinschaftlichen Punkten s, i^, t^. Die Kegelschnitte dieses 

 Büschels berühren in s die Gerade %i^, welche die Spitzentangente % von T^, 7\ harmonisch trennt. Von 

 den vier Punkten des Quadrupels liegt keiner in s. 



Die Kegelschnitte des Systems [12]', welches zu [12] conjungirt ist, haben die Gleichung 



^' = a,,Tl + a,,^ + 2a,,T,T,-^2a,,T,T,, + 2a,,T,T,-2,MT^-T,)T^,-2iJ.'T, T, = 0, (26) 



aus welcher ersichtlich, dass sie alle durch *■ gehen, daher <I> nur noch in drei Punkten berühren. 

 Der diese Tripel ausschneidende Büschel von Kegelschnitten, dessen Gleichung 



2^r, r,-^(7'-7;)r,, = o (27) 



ist, hat in s die Spitzentangeute % zur gemeinschaftlichen Tangente und f^. t^ sind seine weiteren Basis- 

 punkte. Das System [12]' enthält also nur eigentlich dreifach berührende Kegelschnitte. 



Da es nun 15 verschiedene Formen (21) für die Curve 4'«^ Ordnung mit einer Spitze gibt, so folgt: 

 Die Curve 4''*"' Ordnung mit einer Spitze hat nur 15 Systeme eigentlich vierfach berüh- 

 render Kegelschnitte. In jedem dieser Systeme [ik] tritt das Tangentenpaar T,, T/, aus der 

 Spitze als ein Kegelschnitt auf. (Wir werden gleich sehen, dass es dreifach zählt.) Die Kegel- 

 schnitte, welche die Quadrupel des Systems \ih\ aus s projiciren, gehen durch <,, i^ und 

 berühren in s die Gerade %i,c, welche die Spitzentangente % von T,, '1\ harmonisch trennt. 

 Die zu diesen 15 Systemen conjungirten Systeme [ilc\l enthalten Kegelschnitte, die durch s 

 gehen und nur in drei weiteren Punkten die <I', berühren. Der Kegelschnittsbüschel, welcher 

 diese Tripel ausschneidet, geht durch ti,t:, und berührt in s die Spitzentangente. Man zeigt, 

 wie in der ersten Abtheilung in II sub 14. leicht, dass weiter keine Systeme berührender Kegelschnitte auf 

 <lJ| auftreten können. 



6. In jedem Systeme vierfach oder dreifach berührender Kegelschnitte treten Doppeltangcnten auf. 

 Betrachten wir zuerst das System [12]', dessen Kegelschnitte durch s gehen und dessen Tripel durch 



den Büschel (27) ausgeschnitten werden, so treten in dem System vier Doppeltangenten gepaart mit den vier 



