150 Karl Bobek, 



Tangenten T^, T^, T^, Tg auf. Denn legt man den Kegelschnitt des Büschels (27) durch einen der Punkte 

 ti (i = 3, 4, 5, 6), so niiiss der zugehörige Kegelschnitt des Systems (26) zerfallen in 2\, welche Gerade 

 durch s geht, und eine zweite Gerade, welche <t>j in zwei Punkten berührt und nicht durch s geht, also eine 

 Doppeltangente von <I>, ist. 



In dem System [12], dessen Gleichung (24) ist, treten nur drei in Geradenpaare zerfallende Kegel- 

 schnitte auf. Denn die Discriminante des Kegelschnittes (24) liefert die Gleichung 



1 «12 — /^' «13—/ 



-y} «2,, «2 3—/. 



(28) 



welche in iJ. blos vom 3'^" Grade wird, indem der Coefficient von jj} verschwindet. 



Die Discriminante eines Kegelschnittes, dessen Coefficientcn von [j. im zweiten Grade abhängen, ist i. A. 

 vom 6'''" Grade und man sieht also, dass für (28) jui = oo eine dreifache Wurzel wird, d. h. das Geraden- 

 paar T^, T^ zählt in [12] als drei in Geradenpaare zerfallende Kegelschnitte. 



Die drei endlichen Wurzelwerthe von (28) liefern drei Geradenpaare des Systems [12] oder sechs 

 Doppeltangenten von 4>j, die von den obigen vier verschieden sein müssen. 



Die Cnrve <i>^ kann aber ausser diesen zehn Doppeltangenten keine mehr besitzen. 

 Denn sei D eine Doppeltangente von <t>,, welche in o,o' die <!', berührt, und K derjenige Kegelschnitt, 

 welcher durch o, 5', t^, t^ und s bestimmt ist. Dann wird K entweder die Spitzentangente % berühren oder 

 nicht berühren. 



Berührt K die Spitzentangente %, so wird er <I>, nur mehr in einem Punkte schneiden und es wird in 

 dem Büschel Curven 4'""^ Ordnung 



die Curve, welche mit 1\ einen willkürlichen Punkt gemeinschaftlich hat, in die Geraden T^, T^ und I) zer- 

 fallen müssen, überdies in die Tangente des Punktes, in welchem K die <P, nocli schneidet. Diese Tangente 

 muss aber durch s gehen, da U nicht dnrcii s geht und % von allen Curven des Büschels in s in drei zusam- 

 menfallenden Punkten getroffen wird. Dann ist aber D mit der eben erwähnten Tangente aus s gepaart in 

 dem System [12]' enthalten, also eine der vier oben gefundenen Doppeltangenten. 



Berührt aber K die Spitzentangente % nicht, so schneidet er <1>, noch in den Punkten o,, o' und die 

 Curve des Büschels 4*" Ordnung 



'& 



<l>j— A7i^ = 0, 



welche mit T, einen Punkt gemeinschaftlich hat, muss zerfallen in T,, T^, B und die Gerade D' ■= $ §' 

 welche <I>j in o', o,' berühren muss. Dann ist nber Jj' mit IJ zusammen ein Kegelschnitt des Systems |12], also 

 DD' ein Doppeltangentenpaar, das in [12] auftritt. 



Die zehn Doppeltangenten der Curve 4'" Ordnung mit einer Spitze ordnen sich daher in 

 die 15 Systeme vierfach be rührender Kegelschnitte derart ein, dass in jedem System drei 

 Paare vorkommen. Die vier übrigen Doppeltangenten treten in dem coujungirten System 

 dreifach berührender Kegelschnitte, gepaart mit vier Tangenten aus dem Doppel- 

 punkte auf. 



7. Die Anordnung der Doppellangenten in die Systeme [ih]' dreifach berührender Kegelschnitte ergibt 

 sich am einfachsten aus folgendem Satze: 



Legt man durch drei der Punkte /, einen Kegelschnitt, welcher die Spitzentangente 

 berührt, so schneidet er 'l>^ noch in zwei Punkten, die Berührungspunkte einer Doppel- 

 tangente sind. Man erhält dieselben Punkte, wenn man den Kegelschnitt durch die drei 

 übrigen Punkte t,, legt, so dass er die Spitzentangente berührt. 



