über (Jurvcn 4'^'' Ordnung vom Geschleckte Zivei. 153 



dem Berlibrungspunktc eines Kegelschnittes t), der durcli die vier Geraden bestimmten 

 Kegelsclinittsschaar. Der Kegelsdniitt H trifft <f noch in zwei Puuliten aot., der if^\ die auf <1>, 

 liegen. 



Die Richtigkeit dieser Sätze ergibt sich durch die analogen Betrachtungen, wie sie in der ersten 

 Abtheilung in II, sub 15. angestellt wurden, und die daher liier nicht wiederliolt werden sollen. 



Man erkennt auch die Richtigkeit des folgenden Satzes: Bezieht man die Kegelschnitte einer 

 Scliaar, welche vier feste Tangenten B, D', D", T berühren, projectivisch auf die Strahlen 

 eines Büschels (s), wobei *■ auf T liegen möge, so erzeugen dieselben mit dem Strahleu- 

 büschel eine Curve 4''^"' Ordnung, welche in « eine Spitze hat, für welche D,D',D" drei 

 Doppeltangeuten sind und T eine Tangente aus der Spitze an die Curve darstellt. Die 

 Spitzentangente in s ist derjenige Strahl des Büschels («), welcher dem Kegelschnitte der 

 Schaar entspracht, der T in s berührt. 



Dass man jede Curve 4'" Ordnung mit einer Spitze auf diese Art erzeugen kann, folgt aus den eben 

 gegebenen Sätzen über die Beschafifenlieit der Quadrupel, in welche drei Doppeltangeuten eingehen. Und 

 zwar kann man jede Curve auf 60 verschiedene Arten in der obigen Weise erzeugen. Denn jedes System \ik] 

 liefert mit [/A-]', dem conjungirten, 3.4 = 12 solcher Quadrupel von Geraden; da jedes der drei Paare von 

 [lk\ mit den vier Paaren von [ik-]' bildet ein solches Quadrupel. Nun ist aber jedes Quadrupel wieder in drei 

 Systemen und den conjungirten enthalten, so dass wir nur '/3.12.15 = 60 Quadrupel von Geraden 

 erhalten, die Schaaren von Kegelsclinitteu bestimmen, welclie aus <1>| die </^' ausschneiden. 



Dem entsprechend lassen sich auch GO canouische Gleielnmgsformen der <1>, aufstellen, die anolog den 

 Gleichungsfornicn (121 in der ersten Abtheilung I sub 7. sind, wobei statt T^ eine der vier Tangenten der 

 Schaar zu nehmen ist. 



10. Die Curve <I>, besitzt ausser den 15 Systemen [//c]', welche adjungirte dreifach berührende Kegel- 

 schnitte sind, keine dreifach berührenden adjungirte Kegelschnitte mehr. Denn in jedem solchen Systeme 

 niüsste eine Tangente T, mit einer Doppeltangente !>/, oder Tangente 1), als specieller Kegelschnitt auftreten. 

 Die Tabelle IV zeigt aber, dass die Systeme [;7.J' alle diese Möglichkeiten erschöpfen. 



Wir haben bei der Curve 4'"'' Ordnung *!> mit Dopjjclpunkt IG Doppeltangenten, 30 Systeme vierfach und 

 16 Systeme adjungirter dreifach berührender Kegelschnitte gefunden. Übergeht durch Änderung der Constan- 

 ten (indem, wie wir sahen, blos ar,3 r= 1 wird) die Curve <I> in die Curve <J>, mit einer Spitze, so übergehen 

 sechs Doppeltangenten in die sechs Tangenten T, von der Spitze an die Curve. Von den 30 Systemen vier- 

 fach berührender Kcgelsciinitte bleiben nur 15 Systeme erhalten. Die 15 übrigen fallen mit 15 von den 16 

 dreifach berührenden adjungirtcn Kegelschuitten zusammen und das letzte 16''' System adjungirter dreifach 

 berührender Kegelschnitte übergeht in die doppelt gezählten Geraden durch die Spitze. 



Fasst man diess mit der Anmerkung am Ende der ersten Abtheilung zusammen, so ersieht man, dass, 

 wenn die allgemeine Curve 4'"'' Ordnung übergeht in die Curve 4'"'' Ordnung mit einer Spitze, 18 Doppcltau- 

 genten in die sechs Tangenten !/', übergehen, jede also dreifach als Doppeltangente zälilt (^was mit der in 6. 

 gemachten Bemerkung übereinstimmt, dass T,, Ti, in jedem der Systeme [ik] dreimal zählend auftritt) und 

 nur zelin Doppeltangenten bleiben als solche eriialten. 



Von den 63 Systemen vierfach berührender Kegelschnitte übergehen drei in den Büschel doppcltgezählter 

 Geraden durch die Spitze, 45 übergelien in die 15 Systeme adjungirter dreifach berührender Kcgelsciinitte 

 und nur 15 Systeme vierfach berührender Kegelschnitte bleiben erhalten. 



Denkschrifteu der mallium.-uaturw. ct. LIil. Bd. Abhaudluugeu vou NicUtiuitgüederu. 



