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Es ist bekannt, dass man eine Gleichung fünften Grades nur durch eine nicht lineare Substitution auf 

 die Form 



54) x^ 4- ax + i = 



bringen kann. Eine solche Überführung der Form nennt man gewöhnlich die Jcrrard'sche Transformation. 

 Nur wenn die Invariante zwölften Grades C verschwindet, lässt sich die Form durch eine lineare Substitution 

 in die Form 54) transformiren, wo sie dann die Gestalt annimmt 



55) ,,, .. 1 V^'-^'-o 



wenn unter A und B die Invarianten vierten, resp. achten Grades verstanden werden. Es fragt sich nun, ob 

 im Falle 0=0 die Jerard'sehe Transformation möglich ist. Diese Frage scheint mir um so mehr berechtigt, 

 als aus der Hermite'schen Theorie der Jerrard'sehcn Form hervorzugehen scheint, dass im Falle C'^0 

 nur eine lineare Substitution die Form in die canonisclie überführen kann, denn die Überführung der all- 

 gemeinen Form fünften Grades auf die Hermite'sche ist nur dann möglich, wenn C nicht verschwindet. 

 Dass die Jcrrard'sche Transformation selbst im Falle C = möglich ist, und dass demnach die Theorie von 

 Her mite nicht allgemein genug ist, zeigt man folgendermassen. Es sei 



56) /■,+>-/e=0 



eine Involution fünfter Ordnung und erster Stufe, so lässt sich dieselbe durch die Jcrrard'sche Transforma- 

 tion auf die Form 



57) z^-i-Az+B — Q 



bringen. Jeder Form in 56) entspricht eine Form in 57) d. h. 57) stellt die transformirte Involution dar. Nun 

 liefert die Invariante C/,_i_).,. = zwölf Werthe von X, d. h. es gibt zwölf Gruppen in 56), die sich in der 

 Form 



5 V O Bf^+;,j,^ 



darstellen lassen. Diese zwölf Gruppen finden sich aber auch in 57, daraus folgt, dass auch solche Formen, 

 deren Invariate C gleich Null ist, durch eine Jcrrard'sche Transformation auf die canonische Form über- 

 führbar sind. Auf dieselbe Weise erledigt sich auch die Frage, ob eine Form, die schon die Gestalt 



59) rj..r'' + [t>x + -i 



und also die Eigenschaft der canonischen Form besitzt, durch eine Jcrrard'sche Transformation, resp. 

 eine lineare Substitution auf die Form 54), resp. 55) sich bringen lässt. Nehmen wir nämlich f^ und /j in fol- 

 gender Gestalt an: 



f\ 3= a^.^■'" + ba^x'*+li) Cla^x^+lQ ^^a^x'^+a^x + a.^ 



f\ = i„ x'' + 5 //, .<:* +10 r. h, ;/•■' + 1 0, b^ x' + b, X -^ b, , 



so verschwindet in der Involution 56) das zweite, dritte und vierte Glied für X = — a^ •.b^, d. h. C/,+x/, = hat 

 die Wurzel — a^ : b^. Für dieses A finden sich transformirte Formen in 57) und 58), daraus folgt, dass auch die 

 Form 59) sich in 54) und 55) transformiren lässt. 



Eine allgemeine Form fünften Grades lässt sich offenbar durch eine lineare Substitution so transformiren, 

 dass zwischen den zweiten, dritten und vierten Coefficienteii, welche mit ^,, A^^ A bezeichnet werden mögen 

 die Beziehung 



