176 B.lgel, 



übergeht, d. b. in die cauoniscbe Form. Die Discriminante von F' ist wie man leicbt sieht, 



66) D = {a^^h^—a^h^){a.h—a, h.;)'' + A\a,h—a^h;)\ 



deren Verschwinden aussagt, dass die Involution F^^O für Ä = — a^ : i, eine Doppelwiirzel bat. Denken wir 

 jetzt die allgemeine Gleichung 



67) 



(«0 ^.2—^0 ^'i) ("r. h—^-. ^,)* + 4'' («, /j— />, \Y = 



aufgelöst und seien die fünf Wurzeln derselben 



+ 4=< (/=1, 2,...5) 

 und bilden wir die fünf Involutionen: 



F, = {a^—Ua)a:^ + b{a\—la\)x'*y+\V)r4rj}_^—la\)x''fi'' + \Ö:.^^^^^^ 



so hat jede derselben ein Doppelelement fiir 



Diese Doppelelemente sind die Wurzeln der Jacobi'scben Determinanten und entsprechen sich diese 

 und die Werthe von / für die die Involution ein Doppelelemeut bat eindeutig, daraus folgt, dass die Jacobi'- 

 schen Determinanten vom Typus: 



68) 



J = 



= (01)x8+4p(01)r"(/ + 6p,(01)a.'«//2 + 4(04).r''(/-'' + (05).r*y* + 4\14)a,-\(/* 

 +4(15)a:3y^+4.6p(14)^»y^+6p(]5)j:2//" + 4\o,(14).r^/+4p,(15)^^' 

 + (41).fc'*y* + 4p(4]),r3yV6p,(41Vr\;/" + (45)/ 



mit Hilfe einer Gleichung fünften Grades auflösbar sind. Indem man nämlich die Gleichung 67) auflöst, 

 ergibt sich x : y aus der Gleichung 



B F 



— = 4(«,Ä2— />,Ä,).?:+(«,/2— ftjX,)// = 0. 



Um aber die Gleichung fünften Grades, mit der jede der Jacobi'schen Determinanten in 68) eine 

 Wurzel gemein hat, direct zu ermitteln, bemerke man Folgendes. Wenn man zwei Formen in der canonischen 

 Form hat 



und die Involution 



F— (a„Xg — bgli)x'''+b{a^\—b^A,)xy''+{a/A^ — h'^^i"^!/'' 



bildet, so ist die Discriminante derselben 



es entsprechen also den Werthen dieser Gleichung die fünf Werthe der Jacobi'schen Determinante 



b,x^+b,y^ 4b,xy''+b,y' 

 = {4 (04:) x^+ {Ob) x^y + {4b) i/'^'l y^ = 0. 



