12 MEMORIAS DA ACADEMIA REAL 



S. Da formula (i>) é fácil de concluir, que se A', D' forem primos 

 cnlrc si, leremos 



(M) çA'=-..4'B' = y/l'Xf«', 



iiois (iiio sííiulo ('. D. t'li'. "s iiií-lorcs jirimos de ,/', e E, l'\ ele. os do 

 B'. os qiKies serão iniiuos com os primeiros, será 



= 6'"-'L''-'...7í^-'f^~'.-.(C-l)(D-l)..-(£-l)(f— !)■•. 

 =5^;° d'' . . . X?Ê^ /'"^- . .=?.4'X í B'. 



De (11) deduz-se, sendo ,/', B\ C , etc. primos entre si, 

 (12) ^A'B'C'... = '^A',ftíC...^<iÁr^B'^C'... 



y. A formula (5) foi descoberta por Euler (Nuvi Comment. Ac. Sc. 

 Iiiip. Pitrop. T. vin) que a demonstrou jwr um modo summamcnte en- 

 genhoso e geral. Posteriormente (Acta Ac. Sc. Imp. Pctiop. 1780, pars ii) 

 publicou duas outras demonstrações da mesma formula, (jue de certo nào 

 tem o mérito da primeira. Em uma delias emprega-se uma longa e mi- 

 nuciosa indueção, que pela sua crescente difliculdade deixa bastante ob- 

 scuridade no espií-ilo; a outra, como Euler confessa, foi-lhe suggerida 

 pelo exame das oi)erações indicadas que dão a funcção t^N. Esla demon- 

 stração, aliás extremamente simples, é, como bem observa Poinsot (me- 

 moria acima citada, inteiramente destituída de rigor. Este ultimo geo- 

 mctra reformou o i\\wi nessa demonstração havia de inconsistente; mas 

 deve advertir-se que a indueção, de ([ue usa Poinsot, requer, para ser 

 indermidamcnte continuada, uma grande contensào de espirito, o que faz 

 ([ue a sua apparcnte facilidade não se prova pela pouca extensão >com 

 que esse raciocinio foi redigido. 



Gauss (obra citada) dejx)is de demonstrar, como e fácil, a verdade 

 lia formula i'5) para (juando N é potencia de um numero primo, pas- 



