DAS Si:iE.\CIAS DE LISBOA. I .' CLASSE. 1 3 



SI a fundar o ca.so geral iia dcinoiístracão da Ibrmula (12\ O seu pro- 

 (•o.s.so. i.osto<|uo cxtreinanienle engenhoso, é innegavcl.nente menos sim- 

 ples <|ue o (Ic Poiíisot. 



Legcndre (Tliéork. d,:s vomlncs 3.' cdU.) aproveitando também . 

 para a den.onstrarào , a for.na do valor do .^ N, doiK.is de feitas as 

 o|.erar..es respectivas , empregou uma induceào bastante laboriosa . que 

 para eonveneer completamente, é necessário ainda (pie o leitor suppra al- 

 guns desenvolvimentos . ,p,e explicitamente se nào encontram no texto. 

 O Sílr. F. S. Margiochi nas suas //«tóMtócj mathematicas , que 

 brevemente verão a luz publi.a , contemplando a forma geral daíiucl- 

 le dasenvolvimento , procurou demonstrar (|ue ella apiivale a um pro- 

 cesso suceess.vo para achar os nu.neros menores que N, e primos com 

 clle ; mas a imluccào de cpie faz uso esse distincto analysta está mui 

 longe de ser evidente. 



A demonstração que demos, que julgamos nào ser mais longa que 

 a de Pomsot, pruuipalmente se a restringirmos ás condições particula- 

 res do theorema , para que especialmente a empregámos .' tem sobre a- 

 quella. nos parece, a vantagem de não exigir a grande conteasão de 

 espirito indispensável a uma enumeração, em que continuamente cres- 

 cem os elementos, cpie se devem ter presentes ao entendimento. 



10. As formulas (9,10). que teeni ainda a vantagem de expri- 

 mir iheorcmas muito mais geracs que o de Euler . ,.odcm servir com- 

 modamente para a demonstração de formulas importantes e curiosas 

 sempre que seja possível determinar cada um ,los svmbolos .9 ou 

 <|- \ de maneira (|ue a reunião delles jiossa reduzií-se a uma fJrinu- 

 la lacil de calcular. 



Por exemplo , a equação svmbolica (9) dar-nos-ha . por meio de 

 uma expressão elegante , a somma de todos os números nào maiores 

 que N, e primos com ellc. 



Para o conseguir , considerando o segundo membro de (9) co- 

 mo uma somma algébrica de todas as expre.ss,>„s svmbolicas. que ncl- 

 le entram , determinemos o valor de qualquer delias. 



E fácil de ver (pie teremos 



•S-, = I -i-2 -1-3 ^ . . . -hA-=^' (A^-í- 1) ; 



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