DAS SOENCIAS DE LISBOA. I." CLASSE. 3õ 



Em consequência dislo. [)ara indagar as propriedades das raízes de 



-r' = l. 



e para as determinar, substituiremos sempre essa rong^ruencia por outra 



(43) .T^'=l, 



cm (|U(í p' (i divisor de ;» — 1. 



■31. A congruência (43) tem sempre^' raizcs. 

 ("^m ciVcito, 



x'-^ — i = {xf'—{)[xf-r'-^-i-xf-''f'-*-^ hl): 



ora havendo p — 1 valores de x menores que p, que tornam o primeiro 

 membro divisivel por p, c como no segundo factor do segundo membro 

 não pôde liavcr mais de p — p' — 1 valores, que dêem essa propriedade 

 ao dito factor (§ 6), segue-sc necessariamente que liaverá p' valores tjuc 

 tornam x'"' — 1 divisivel por p, isto é, a equação (43) terá p raizes. 



32. Sendo a uma raiz qualquer de (43), satisfarão a essa congruên- 

 cia todas os termos da serie 



a, a*, a'', a', a', otc. 



Se a lòr raiz jirimitiva de (43), os residuos de totlas essas potencias 

 até ao grau jt)' serão diversos (§ 15), e as ^' raizcs datiuella congruência 

 senio 



a, a-, a'", o', .... «''^L 



Sendo ainda a raiz primitiva de (43), se íor /)'=;? — 1, a serie 



a, a^ a'-, ... «''-• = 1, 

 dará os ^ — I residuos 



i. 2, 3, ... p—y, 



posto que não seguindo a mesma ordem. 



Sendo p' = <^p — 1, e ti qual(|uer raiz não primitiva de (43), 

 SC fòr // o menor expoente que faz 



a" = l, 



