36 MEMORIAS DA ACADEMIA REAI. 



a serie 



a, «', a' . . . a", 



conterá n raizcs dislinctas de (43). 



O iiiinicro H será sempre divisor de p' (§ 13). 

 33. Qualquer congruência (43) tem sempre um numero do raizes 

 (irimitivas representado jxir <jip'. 



Elsta bella propriedade descoberta por Lambert (Acta eruditorum, 

 1769), foi primeiro demonstrada por Euler (Comm. nov. Acad. Petrop., 

 T. xviii, pag. 85). Gauss reconhecendo que essa demonstração não era 

 absolutamente rigorosa, publicou (obra citada, §§ 53, 54, 55) duas de- 

 monstrações inteiramente isentas de toda a objecção. 



A demoastração de Legendre (obra citada, T. ii, pag. IG) é análoga 

 á ultima das demonstrações de Euler, de que falíamos (§ 9), e tem o 

 mesmo defeito, que Poinsot reconheceu naquell 'outra. Poinsot (memoria 

 citada) deu ainda duas outras demonstrações, a primeira fundada em uma 

 inducção pouco evidente, e outra summamente simples, em que demon- 

 strando previamente a existência de uma raiz primitiva, conclue d'ahi 

 a existência de <^p' raizes dessa classe, simplificando a demonstração que 

 da ultima proposição deu Gauss (Disq. Arith. § 53, 1."). Serret (Cours 

 iC Algèbre Supcrieure, pag. 316) demonstrou também o mesmo theorema, 

 aproveitando o processo primeiro indicado por Gauss, que faz depender 



as raizes da congruência do grau p' = q^ r s* ... (sendo q, r, s, ... 



primos entre si) de outras correspondentes aos graus q" , /-^ , s^ , etc. ^ 



processo em que lambera se funda a segunda demonstração de Poinsot. 



Apczar da existência desses numerosos e importantes trabalhos, acre- 

 ditamos que poderão soffrer a comparação com elles as duas demonstra- 

 ções, que passamos a exjwr. 



A primeira delias fornecer-nos-ha uma nova applicação da for- 

 mula (10). 



Qualquer raiz não primitiva de 



(ii) xr-=\, 



om que p'= q° '^ s^ . . . será raiz de 



