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In § 2 werden zwei Elementarbögen an einander gestellt. Es ist hier keine 

 Rede von Berührungen verschiedener Ordnung u.d.; nur durch eine mehr begrenzende 

 Definition des Elementarbogens würde dies einen Sinn geben. Am Schluss wird die 

 „Abrundung eines Winkelpunktes" eingeführt, was das erste Hauptmittel der fol- 

 genden Untersuchung bildet. 



In § 3 wird das eigentliche Untersuchungsobject eingeführt : die Elementar- 

 kurve endlicher Ordnung. Hieran knüpft sich das zweite, später zu benutzende 

 Hilfmittel, nämlich das Zerlegen einer Kurve in zwei von einem Doppelpunkte aus- 

 gehende Pseudozweige; zugleich wird bewiesen, dass die Abrundung der Winkel- 

 punkte einer Kurve die Ordnung derselben nicht erhöhen kann. 



Im folgenden § 4 stelle ich das elementare Korrespondenzprinzip auf, und es 

 ist dies das dritte wesentliche Hilfsmittel. Der Satz ist in mehr oder weniger 

 allgemeiner Form schon mehrmals aufgestellt und benutzt worden. Es ist in 

 der That eine directe Folge der Satzes, dass eine stetige, im EndlicheJi verlaufende 

 Kurve, welche einen Punkt auf jeder Seite einer Geraden hat, dieselbe schneiden 

 muss. Ich habe für den Satz einen — nicht von mir herrührenden — Beweis 

 gewählt, der diesen Sachverhalt am deutlichsten zum Ausdruck bringt'. Wenn auch 

 der Satz, wie gesagt, nicht neu ist, glaube ich doch durch die Formulierung den- 

 selben handlicher gemacht zu haben. 



Durch die genannten Hilfmittel werden nun die für die Klassifikation wichtig- 

 sten Eigenschaften der Kurven dritter und vierter Ordnung gewonnen; Sätze, welche 

 für die Klassifikation belanglos sind, habe ich ganz weggelassen. Die Kurven dritter 

 Ordnung sind schon bekannt; doch finden sich hier einige neue Sätze, welche für 

 das folgende nothwendig sind. 



Die Kurven dritter Ordnung sind Elementarkurven, wenn sie völlig stetig sind. 

 Dies gilt nicht mehr für die Kurven vierter Ordnung. Hier begrenze ich noch die 

 Aufgabe in zweifacher Weise. Erstens betrachte ich nur die einteilige Kurve-. 

 Freilich lässt sich auch etwas über mehrteilige (vollständige) Kurven vierter Ord- 

 nung sagen; eine sichere Klassifikation der einteiligen ist aber jedenfalls eine noth- 

 wendige Grundlage. Zweitens nehme ich die Zahl der Doppelpunkte als endlich 

 an, was selbst für einteilige Elementarkurven nicht nothwendig wäre. Die Klassi- 

 fikation und die Bestimmung der Art und Lage der singulären Punkte der so 

 begrenzten Klasse von Kurven vierter Ordnung geschieht nun Schritt für Schritt 

 ganz mit derselben Sicherkeit, als wenn man eine Gleichung als Grundlage hätte. 

 Die Einteilung stützt sich wesentlich auf die Möglichkeit von zwei verschiedenen 

 Arten von Doppelpunkten, wobei sich herausstellt, das eine Kurve, deren Doppel- 



' Siehe A. K. Erlani:: Lidt om det grafiske Korrespondanceprincip. Nyt Tidssk f. Math. 1906, S. ^H. 



^ Infolge dieser Begrenzung fällt die hier für Elementarliurven vierter Ordnung gelöste Aufgabe 

 nicht ganz rait der analogen Aufgabe für algebraische Kurven zusammen, denn im letzteren Falle wird 

 ein Hauptgewicht auf die Zahl und Verteilung der Zweige gelegt; siehe H. G. Zeuthen, Sur les différentes 

 formes des courbes planes du quatrième ordre, Math. Ann. Bd. 7, 1874, S. 410. Es ist übrigens kaum 

 nöthig zu bemerken, dass diese Arbeit auf die ganze Fragestellung den grössten Einfluss ge- 

 liabt hat. 



