§ 1. 



Der Elementarbogen. 



Unter einem im Endlichen liegenden Elementarbogen AB werden' wir die 

 Punktmenge verstehen, welche mit dem endlichen Geradenstück AB zusammen die 

 vollständige Begrenzung eines konvexen Gebietes bildet. Das Gebilde ist wie bekannt 

 stetig und lässt sich stetig und gegenseitig eindeutig auf einem Geradenstück abbilden. 

 Wenn nicht ausdrücklich anderes bemerkt wird, denken wir uns, dass der Bogen 

 kein Geradenstück enthält. 



Wir werden im folgenden auch Elementarbögen betrachten, welche ins unend- 

 liche gehen. Diese definieren wir einfach im projektiven Sinne als Projektionen 

 endlicher Elementarbögen, und wir können uns deshalb bei den folgenden (pro- 

 jektiven) Sätzen mit dem endlichen Bogen begnügen. 



(1) Ein Elementarbogen hat in jedem Punkte jedenfalls eine „nach vorn", und 

 eine „nach hinten" gerichtete Tangente; wenn nicht anderes ausdrücklich bemerkt 

 wird, setzen wir voraus, dass diese zwei zusammenfallen. Die Tangenten des Bogens 

 folgen dann stetig auf einander, und eine Gerade, welche den Bogen in zwei 

 beliebig nahe an einander liegenden Punkten schneidet, wird einer Tangente beliebig 

 nahe liegen. Es sei M ein Punkt des Bogens, der kein Endpunkt ist, P ein von 

 M verschiedener Punkt der Tangente in M. Verbindet man dann P mit einem 

 Punkte Mj des Bogens, der M beliebig nahe liegt, wird die Gerade PMi den Bogen 

 in noch einem, M beliebig nahe liegenden Punkte M., schneiden. Von der Tangente 

 kann man sagen, dass sie den Bogen in zwei zusammenfallenden Punkten schneidet. 



(2) Aus den Eigenschaften des konvexen Gebietes folgt, dass eine Gerade höch- 

 stens zwei Punkte mit der Begrenzung desselben gemein haben kann. Eine Gerade, 

 welche durch einen inneren Punkt des konvexen Gebietes geht, hat zwei getrennte 



(3^ Punkte mit der Begrenzung desselben gemein. Desslialb wird jede Gerade der 

 Ebene, welche mit dem endlichen Geradenstück AB einen Punkt gemein hat (aber 

 nicht mit AB zusammenfällt) einen und nur einen Punkt mit dem Bogen AB gemein 

 haben, während eine Gerade, welche einen Punkt der Verlängerung von AB enthält, 

 entweder oder auch 2 Punkte mit dem Bogen gemein haben wird — die aber 

 auch in einen Berührungspunkt einer Tangente zusammenfallen können. 



(4v Man hat noch den wichtigen Satz, dass ein stetiger Bogen, der mit einer Geraden 



höchstens zwei Punkte gemein hat, noth.wendigerweise ein Elementarbogen ist. 



