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Durch einen Punkt des Inneren des konvexen Gebietes geht keine Tangente (5) 

 des Bogens. Aus den Eigenschaften eines konvexen Gebietes folgt aber, dass aus 

 jedem Punkte P ausserhalb des Gebietes immer zwei „Grenzgerade" gehen, d. h. 

 Gerade, welche mit der Begrenzung einen und nur einen Punkt gemein haben — 

 oder auch speciel! ein Geradenstück ; das letztere kann aber hier nur der F"all sein, 

 wenn P auf der Verlängerung von AB liegt. Grenzgerade können entweder Tan- 

 genten des Bogens sein oder auch Gerade, die durch einen Endpunkt des Bogens 

 gehen, sonst aber keinen Punkt mit diesem gemein haben. Aus dem beliebigen 

 Punkte P der Ebene gehen also höchstens zwei Tangenten des Bogens, und schnei- 

 den von den Geraden PA und PB 0, 1 oder 2 den Bogen, dann gehen aus P 2, 

 1 oder Ü Tangenten an den Bogen. Durch jeden Punkt der Geraden AB, welcher 

 nicht auf dem Geradenstück AB liegt, geht eine und nur eine Tangente des Bogens. 

 Überschreitet P eine Endtangente des Bogens, wird demnach hier eine von P aus- 

 gehende Tangente gewonnen oder verloren. Nur durch Überschreiten einer End- 

 tangente oder durch Überschreiten der Bogen wird die Zahl, der aus P an diesen 

 gehenden Tangenten geändert — im letzten Falle mit 2. 



Ist a eine Endtangente des Bogens AB in A, kann man sagen, dass eine be- (6) 

 stimmte Halbgerade den Bogen berührt, nämlich diejenige in a liegende von A 

 ausgehende Halbgerade a, die in derselben von AB begrenzten Halbebene t: liegt, 

 wie der Bogen selbst. Jede durch A gehende Halbgerade, welche in dem durch a 

 und die Halbgerade AB begrenzten und in tt liegenden Halbwinkelraume enthalten 

 ist, wird einen Punkt mit dem Bogen gemein haben. 



Ein Elementarbogen .4ß hat zwei Seiten; diejenige, die von von den Punkten (7) 

 des zugehörigen konvexen Gebietes erreichbar ist, können wir die negative Seite 

 des Bogens nennen, während wir die andere die positive Seite nennen. Ist CD ein 

 Teil von AB, wird die positive Seite von CD dieselbe sein, ob sie allein oder als 

 ein Teil von AB aufgefasst wird. 



Das dualistische Gebilde zu den Punkten und Tangenten eines Elementar- (8) 

 bogens wird aus den Tangenten und Punkten eines ebensolchen Bogens gebildet. 



Wenn ein Punkt P der Ebene sich einem Punkte M des Bogens beliebig 

 nähert — der jedoch kein Endpunkt ist — dann gehen, wenn P sich M hinreichend 

 genähert hat, aus P entweder keine Tangenten oder auch zwei, die der Tangente 

 m in M beliebig nahe liegen. Im ersten Falle liegt P auf der negativen Seite, im 

 zweiten auf der positiven Seite der Bogens. Nur so können sich zwei durch P 

 gehende Tangenten beliebig nähern. 



Es sei a ein Elementarbogen, dessen Tangenten sämtlich einen andern Ele- (9) 

 mentarbogen ß schneiden ; es mögen vorerst die zwei Bögen keine Tangente und 

 keinen Punkt mit einander gemein haben. Eine Tangente m an a kann demnach 

 nicht ß in zusammenfallenden Punkten schneiden, und man kann, indem der Be- 

 rührungspunkt M von m sich auf « bewegt, die Bewegung eines bestimmten Schnitt- 

 punktes N von m mit ß verfolgen. Wenn M auf « sich in einem bestimmten Sinne 

 stetig bewegt, dann wird auch N auf ß sich stetig ändern, weil die Tangenten eine 



