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stetige Reihe bilden. Aber es wird auch N sich auf ß in einem bestimmten Sinne 

 bewegen, weil sonst durch einen Punlit von ß zwei einander beliebig nahe liegende 

 Tangenten an a gehen würden, was ausgeschlossen ist, wenn jeder Punkt von ß in 

 endlicher Entfernung von jedem Punkte von a liegt. 



(10) Setzen wir jetzt voraus, dass a und ß wieder keine Tangente, dagegen aber 

 einen und nur einen Punkt C — der kein Endpunkt ist — mit einander gemein 

 haben. Wenn nun M einem Teilbogen BC = a^ von a entlang in einem bestimm- 

 ten Sinne sich stetig C beliebig nähert, dann wird auch der Schnittpunkt N sich 

 stetig C beliebig nähern, und zwar auf einem Teilbogen ß^ von ß, der auf der 

 positiven Seite von a liegt. Wenn nun M sich in demselben Sinne auf einem 

 Teilbogen CB = Uo von a weiter fortbewegt, dann wird N sich immer stetig von 

 C aus auf ß fortbewegen und wieder auf der positiven Seite von a, also wieder auf 

 /9j. Man sieht nun, dass iV beim ersten Teil der Bewegung, wo M sich auf «j 

 befand, immer in demselben Sinne sich bewegt haben muss, weil sonst durch einen 

 Punkt von ß drei Tangenten an a gehen würden, was ausgeschlossen ist. Dasselbe 

 gilt beim zweiten Teil der Bewegung, aber die zwei Sinne müssen entgegengesetzt 

 sein, weil C im ersten Falle der Endpunkt, im zweiten der Anfangspunkt des durch- 

 laufenen Bogens /?j ist. 



In diesen Sätzen kann man ß (aber nicht a) durch eine Gerade ersetzen — 

 oder auch durch einen Bogen, der Geradenstücke enthält. 



(11) Das letzt gewonnene Resultat lässt sich auch anders ausdrücken. Es seien 

 wieder a und ß zwei Elementarbögen, die keine Tangenten aber einen Punkt C, 

 der kein Endpunkt ist, mit einander gemein haben. Wenn ein Punkt N einen 

 Teilbogen AC = /9, von ß, der auf der positiven Seite von « liegt, von M nach 

 C durchlauft, dann gehen aus N , wenn ß^ hinreichend klein gewählt ist, an a zwei 

 Tangenten njj und m.,, deren Berührungspunkte Mj und M„ in entgegengesetztem 

 Sinne nach C konvergieren, wenn A' nach C konvergiert. 



Sind a und ß zwei Elementarbögen, von denen man weiss, dass die gemein- 

 samen Punkte und Tangenten alle in endlicher Entfernung von einander liegen, 

 dann kann man, wenn eine Tangente m von a (die keine Endtangente ist) den 

 Bogen ß schneidet, immer den Berührungspunkt M von m in einen Teilbogen «j 

 von « hineinlegen, und einen entsprechenden Teilbogen /Jj von ß so wählen, dass 

 die oben genannten Sätze angewandt werden können. 



(12) Auf diese Sätze kann man das Dualitätsprinzip anwenden. Ich bemerke 

 besonders, dass, wenn eine Tangente m in einem bestimmten Sinne auf einem Ele- 

 mentarbogen a rollt, und dabei immer zwei Schnittpunkte A'j und Nj mit einem 

 anderen, a nicht schneidenden Elementarbogen ß auftreten, bis m in eine gemein- 

 same Tangente a von a und ß hineinfallt, dann N^ and N.^ im entgegengesetzten 

 Sinne laufen, bis sie in dem Berührungspunkt von a mit ß zusammenfallen. 



