119 



§ 2. 



Der aus zwei Elementarbögen zusammengesetzte Bogen. 



Die im folgenden Ijelraclitelen Kurven sind aus Eleinentarbögen zusammen- 

 gesetzt. Es sind demnacli liesonders diejenigen Punlite zu untersuchen, in welclien 

 zwei Eiementarbögen zusammenstossen; wir wollen uns an dieser Stelle an den 

 Fall halten, dass diese in dem gemeinsamen Punkte dieselbe Tangente haben. Wir 

 setzen noch voraus, dass die zwei endlichen Bögen ß = BA und y ^ AC ausser A 

 keinen Punkt mit einander gemein haben. 



Die zwei Bögen berühren in A beide eine und dieselbe Gerade «, aber es giebt 

 die zwei Möglichkeiten, dass die zwei in A berührenden Halbgeraden uß und a.. ent- 

 weder entgegengesetzt sind oder zusammenfallen; wir werden diese zwei Möglichkeiten 

 bzw. mit (A) und (B) bezeichnen. Ausserdem können die zwei Bögen entweder 

 auf derselben Seite oder auf verschiedenen Seiten von a liegen. Nennen wir die zwei 

 letzten Möglichkeiten (1} und (2), hat man die vier Fälle (AI), (A2), {B 1), (B 2) 

 zu untersuchen, und diese Distinctionen sind für unsere fernere Zwecke hinreichend. 



Wir wollen zuerst den Fall (A 1) betrachten und zeigen, dass A in diesem 

 Falle ein innerer Punkt eines neuen Elementarbogens wird. Ziehen wir die Ge- 

 rade BC; wir können denn erstens annehmen, dass dieselbe nicht durch A geht, 

 was jedenfalls durch Verkleinerung eines der Bögen erreicht werden könne. Ferner 

 können wir annehmen, dass BC keine Punkte ausser B und C mit ß und ;- gemein 

 hat. Sind nämlich ßj und Cj eventuelle neue Schnittpunkte, kann man ß durch 

 den Bogen AB^ und ;- durch den Bogen AC^ ersetzen. Nachdem die ursprünglichen 

 Bögen eventuell so verkleinert worden sind, kann man zeigen, dass /? + r (^^^ ß 

 und Y jetzt die eventuellen neuen Bögen sind) ein Elementarbogen ist. 



Es kommt nur darauf an zu zeigen, dass 

 keine Gerade mehr denn zwei Punkte mit^-f-;- 

 gemein haben kann. 



Wir zeigen erst, dass keine durch A gehende 

 Gerade einen Punkt Cj mit y und zugleich einen 

 Punkt ßj mit ß gemein haben kann. Wir neh- 

 men an, dass ß, auf der Strecke ÄC, liegt — 

 sonst könnte man ß und y umtauschen. Weil 

 nun «} und a. entgegengesetzt sind, liegt der Bo- 

 gen ß in der Nähe von A ausserhalb des durch 

 ;- und AC^ begrenzten convexen Gebietes, und 

 es müsste desshalb ß, wenn der oben genannte Punkt Bo vorhanden wäre, in 

 dieses Gebiet eindringen. Weil aber ß und j- keinen Punkt mit einander gemein 

 haben, und ß höchstens zwei Punkte mit der Geraden ACi gemein hat, würde auch 

 ßi in demselben Gebiete liegen müssen; dann würde aber gegen die Voraussetzung 

 die Gerade C^B^ ausserhalb C^ einen Punkt mit ^ gemein haben. 



Fig. 1. 



I). K I) Viciensk. Selsk.Slir. 7. R;i-kke, iinliu \ iileiisk 0|4 mathem. ALI. XI. 2. 



16 



