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Insbesondere gilt dies für ACi und AB^, so dass ß und ;- auf verschiedenen 

 Seiten jeder diesen Geraden liegen müssen. 



Wir nehmen nun eine Gerade, welche mit der Strecke AC^ einen Punkt ausser- 

 halb A und Cj , und zugleich mit der Strecke AB^ einen Punkt ausserhalb A und 

 ß, gemein hat. Dieselbe hat nach § 1 (3) einen Punkt mit jedem der Bögen ß und y 

 gemein. 



Wenn aber I einen Punkt P mit der Verlängerung von AC, über C, gemein 

 hat, kann / nicht gleichzeitig ß und ;- schneiden. Eventuelle Schnittpunkte mit ß 

 und ;- müssen nämlich jedenfalls alle auf einer und derselben von P ausgehenden 

 Halbstrahl /* liegen, weil P und ß -^ y auf verschiedenen Seiten von B^C^ liegen; 

 es kann aber /* nicht gleichzeitig Punkte mit ß und mit ;- gemein haben, weil 

 diese Bögen auf verschiedenen Seiten von PA liegen. Es gilt dies wie leicht zu 

 sehen auch, wenn P in C, liegt. 



Ganz ebenso führt man den Beweis, wenn / einen Punkt mit der Verlängerung 

 von ACi über A gemein hat; man braucht im obigen nur ßjC'j mit a umzu- 

 tauschen. 



Wir wollen nun den Fall {A2) betrachten, wo A ein Inflexionspunkt heisst. 



Die von A ausgehenden Halbstrah- 

 len, welche A mit den Punkten von 

 ß und von ;- verbinden, liegen hier 

 in verschiedenen durch a begrenz- 

 ten Halbebenen ; weil ag und «„ ent- 

 gegengesetzt sind, kann man also 

 eine durch A gehende Gerade ziehen, 

 welche ß in einem Punkt ß, und 

 zugleich ;- in einem Punkt C, 

 schneidet. Es wird dann jede durch 

 A gehende Gerade, welche einen 



Fig. 2. 



von A verschiedenen Punkt des Bogens B^A = ß^ enthält, auch einen von A ver- 

 schiedenen Punkt des Bogen AC, ^ t-, enthalten. (§ 1 (6)). C, liegt auf der Ver- 

 längerung des Geradenstücks B^A; aus C, geht desshalb eine und nur eine Tan- 

 gente der Bogens ß^ , deren Berührungspunkt B., sein möge (§ 1 (5)). 



Es beschreibe nun ein Punkt M immer in demselben Sinne den Bogen 

 AB.^^'ßo von A bis ZJ, . Es wird dann der Schnittpunkt der Tangente m in M 

 mit der Geraden AC^^, das Geradenstück AC^ in einem bestimmten Sinne durch- 

 laufen von A bis C, (§ 1 (10)). Deshalb wird jede Tangente m den Bogen ;-, in 

 einem und nur einem Punkte schneiden (§ 1 (2)), und den Bogen in demselben 

 Sinne durchlaufen von A bis C, . Man kann dies auch so ausdrücken, dass wenn 

 ein Punkt M dem Bogen entlang in einem bestimmten Sinne gegen einen Inflexions- 

 punkt A konvergiert, dann auch ein und nur ein Tangentialpunkt von M gegen A 

 konvergieren wird. 



Betrachten wir jetzt den Schnittpunkt N einer beweglichen Tangente m mit 



