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einem Bogen a, der a in einem von A verschiedenen Punkte ^j schneidet (durch 

 den keine andere Endtangenten der Bögen a und /9 geht). Weil AN, wenn N dem 

 Punkt .4, hinreichend nahe ist, gleichzeitig die Bögen ;■ und ß^ schneidet oder 

 nicht schneidet, wird AN auch gleichzeitig bzw. nicht Grenzgerade oder Grenzgerade 

 der durch die genannten Bögen bestimmten convexen Gebiete sein (S 1 (5)). Dess- 

 halb wird, wenn N dem Bogen a entlang den Punkt A^ überschreitet, zwei durch 

 A' gehende Tangenten an a, + /?i gewonnen oder auch zwei verloren gehen. Fällt 

 N in Aj , fallen in a eine Tangente an ß und eine an y zusammen; liegt N hin- 

 reichend nahe an Aj, gehen also durch N zwei a naheliegende Tangenten an 

 ß^y, wenn A' auf der einen Seite von A y liegt, keine solche Tangenten aber, wenn 

 N auf der anderen Seite von A^ Hegt. 



Wenn der Berührungspunkt M von m den Bogen Aß, in einem bestimmten 

 Sinne stetig durchläuft, dann wird auch A'^ sich stetig in einem bestimmten Sinne auf 

 (7 bewegen, bis Mden Inflexionspunkt überschreitet; dann wendet aber der Bewegungs- 

 sinn von N sich um. Es folgt dies aus dem eben gesagten, und es wird aus dem 

 Grunde die Tangente in einem Inflexionspunkte auch Wendetangente genannt. 



Betrachten wir jetzt den Punkt A im 

 Falle {Bl). Dreht man die in A berührende 

 Halbgerade a einen hinreichend kleinen Win- 

 kel um A in die ß und y enthaltende Halb- 

 ebene hinein, wird sie ß in einem Punkte 

 ß, und gleichzeitig j in einem Punkte C^ 

 schneiden; es möge ßj auf der endlichen 

 Strecke AC^ liegen, und es mögen die Bögen 

 Aßj und ACj ßy und ;-; genannt werden. 

 Diesse zwei Bögen liegen beide auf derselben 



Seite von AB-^, nämlich in derjenigen von AB^ begrenzten Halbebene, welche die 

 Halbgerade « enthält. Das zum Bogen ß^ gehörige konvexe Gebiet liegt also in 

 dem zum Bogen y.^ gehörigen. Aus Cj geht eine und nur eine Tangente an ß^. 

 Ist der Berührungspunkt ß, , und läuft der Punkt M auf dem Bogen B^A im 

 demselben Sinne von ß, nach A, wird die zugehörige Tangente m die Gerade Aß, 

 in einem Punkte schneiden, die in einem bestimmten Sinne von Cj nach A läuft, 

 und zwar durch den unendlich fernen Punkt, weil das Geradenslück Aß, von keiner 

 Tangente m geschnitten werden kann. Die Tangente schneidet demnach y^ in zwei 

 Punkten N, und jV^, die in A und nur in A zusammenfallen werden; beide Punkte 

 behalten ihren Bewegungssinn, wenn M von ß, über einen Teilbogen von /9j bis 

 A läuft, und nähern sich also beide A, wenn M sich A nähert. 



Bewegt sich ein Punkt A'^ einem Bogen a entlang, der « in einem von A ver- 

 schiedenen Punkte Aj schneidet, werden durch Überschreiten von A, zwei durch 

 N an ßi-j-fx gehende Tangenten verloren oder gewonnen. Dies beweist man 

 ebenso wie beim Inflexionspunkte, und daraus folgt weiter, dass die Tangente in 

 einer „Schnabelspitze" eine Wendetangente in dem dort genannten Sinne ist. 



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