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Wir haben noch zuletzt den Fall (B 2} zu betrachten, wo A eine Dornspitze 

 genannt wird. Man wähle auf ß einen Punkt ß, so, dass derjenige Winkel zwi- 

 schen den Halbstrahlen a und AB^ , welcher 

 in der ß enhaltenden und durch a begrenz- 

 ten Halbebene liegt, kleiner als Itt ist. In 

 analoger Weise bestimmen wir einen Punkt 

 Cj auf ;-. Wenn dann ein Punkt M den 

 Bogen Aßj = /?] durchläuft, wird keine der 

 Geraden AM den Bogen AC^ = y^ schneiden, 

 und umgekehrt. Die Bögen y^ und ß^ lie- 

 gen beide auf derselben Seite der Geraden 

 Aß; , nämlich in derjenigen durch AB^ be- 

 grenzten Halbebene, welche die Halbgerade 

 « enthält. Dreht man die Halbgerade ßjAum 

 ßi einen hinreichend kleinen Winkel in 

 die genannte Halbebene hinein, dann wird 

 sie /îj in einem Punkte ß, und (ACj 

 und also auch) y^ in einem Punkte C.^ schneiden. Aus C, geht eine und nur eine 

 Tangente an den Bogen ßjßo von ß^ , und es sei ßj der Berührungspunkt. Wir 

 betrachten nun die zwei Bögen AB^ = ß.^ und AC, ^7-2, welche beide in dem end- 

 lichen Dreieck AB.^C2 liegen. Eine beliebige Tangente m des Bogens ß^ schneidet 

 das Geradenstûck ACo und desshalb den Bogen yo in einem und nur einem Punkte. 

 Wenn m in a fällt, hat m mit y^ nur den Punkt A gemein. Wenn also ein Punkt 

 M auf dem Bogen ß.^ in einem bestimmten Sinne nach A konvergiert, dann wird 

 auch ein Schnittpunkt der Tangente m mit der Kurve 7-2+/S2 nach A konvergieren 

 und zwar auf dieser Kurve im entgegengesetzten Sinne von M (siehe § 1 (9)). 



Bewegt sich ein Punkt N einem Bogen a entlang so, dass er a in einem nicht 

 mit A zusammenfallenden Punkte Aj überschreitet, dann wird bei diesem Über- 

 schreiten die Zahl der aus N an jo+Z^'s gehenden Tangenten ungeändert. Es folgt 

 dies daraus, dass beim Überschreiten ein Schnittpunkt von NA mit ß verloren 

 geht, wenn ein Schnittpunkt mit y gewonnen wird, und umgekehrt. Schneiden die 

 in einem bestimmten Sinne auf einander folgenden Tangenten m des Bogens 

 Ï2 + ßz einen nicht durch M gehenden Bogen a in einem einzeln zu verfolgenden 

 Schnittpunkte N, dann behält dieser Punkt seinen Bewegungssinn auch wenn m 

 die Gerade a überschreitet; es folgt dies aus dem eben gesagten. 



Die oben genannten Sätze zeigen offenbar, dass mittels Dualität eine Dornspitze 

 in einen Inllexionspunkt übergeht, und umgekehrt, während eine Schnabelspitze 

 selbstdualistisch ist. 



Wir nennen an dieser Stelle nach den folgenden wichtigen Satz, wo ein Dop- 

 pelpunkt im gewöhnlichen Sinne zu verstehen ist: 



Ein Bogen ohne Doppelpunkte, Spitzen und I n f lexionspunk te, 

 dessen Tangenten stelig auf einander folgen und der mit seinen 



