13 



123 



E 11 d t a n g e II t e n nur deren Berührungspunkte gemein hat, ist ein E 1 e - 



ni e n t a r b o g e n ' 



Der späteren Anwendungen wegen müssen wir noch die Möglichkeit in Betracht 

 ziehen, dass die zwei Bögen AB = ß und 

 AC = ^ in A zusammenstossen ohne da eine 

 gemeinsame Tangente zu haben; der Bogen hat 

 dann in A einen hervorspringenden Pu nkt 

 oder kürzer einen Winkelpunkt: Die Tan- 

 genten des Bogens ß ^ y bilden hier keine 

 stetige Reihe; man kann dies aber durch eine 

 ., A b r u n d u n g " erreichen ; eine solche erhält 

 man durch eine gewisse Ersetzung zweier dem 

 Punkte A naheliegenden Teilbögen von ß und 

 ;- durch einen Bogen a, der von ß in einem 

 Punkte ßi und von ;- in einem Punkte Cj 

 berührt wird. Es seien b und c die zwei Tangenten 

 ;■ in ßj und Cj berührenden Halbgeraden. 



Durch A ziehe man eine Gerade /, so dass b und c beide in einer und derselben 

 durch Z begrenzten Halbebene k liegen. Eine solche Gerade 

 ständlich unendlich viele giebt — nennen wir eine un- 

 e ige nt liehe Tangente in A. Man ziehe nun eine 

 in X liegende mit / parallele Gerade /, ; diese wird bei 

 hinreichender Nähe an / die Bögen ß und ;- in je einem A 

 naheliegenden Punkte schneiden. Es sei n-, diejenige durch 

 /i begrenzte Halbebene, welche A enthält. Man kann /j so 

 nahe an /wählen, dass die Winkel, welche die Tangenten 

 ftj und Cj in den eben genannten Schnittpunkten B^ und 

 C, mit bzw. ßjA und CiA bilden, so klein sind, als man 

 will. Weil aber B^A und CjA mit / endliche Winkel bilden, 

 die nicht unter einen gewissen Grösse fallen, kann man 

 davon ausgehen, dass der Schnittpunkt = (5jC,) in der 

 Halbebene /t, liegt. Nun legen wir ein Oval, das b, und 

 c, bzw. in ßi und C, berührt, ausser diesen keinen 

 Punkt mit den Bögen ß und ;- gemein hat ' und .4 

 nicht in seinem Inneren enthält. Durch B^C, wird 

 das Oval in zwei Bögen geteilt; einen von diesen und 

 zwar denjenigen, der in ttj liegt, wählen wir als den 

 Bogen rj, so dass wir also durch die Abrundung die 

 Bögen AB,=ßi und AC^=i-^ durch rr ersetzen 



Fig. 5. 



b und c die zwei ß und 



deren es selbstver- 

 .4 ^O 



l. 



Fig. (). 



Fig. 7. 



/5, und 



?'] 



mit ßj Ci zu- 



sammen begrenzen ein gewisses Gebiet w; das durch a und B^C^ begrenzte Ge- 



' Siehe: A. Kneskr: .allgemeine Sätze über die scheinbaren Singularitäten beliebiger Raumcurven, 

 Math. Annalen, Bd. 34, 1889, S. 'iU'J. 



