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biet wj ist ganz in m enthalten. Die den Bogen ß,A und n in B^ berührenden 

 Halbgeiaden fallen zusammen, weil sie beide in rj liegen; deshalb wird den früheren 

 Definitionen zufolge in B^ sowie auch in Cj durch die Abrundung entweder ein 

 innerer Punkt einer Elementarbogens oder auch ein Inflexionspunkt entstehen : Es 

 ist leicht die Bedingungen dafür anzugeben, als der eine oder der andere Fall ein- 

 treten wird. Betrachten wir z. B. den Punkt B^ : es wird dieser Punkt entweder 

 ein Inflexionspunkt oder ein innerer Punkt, jenachdem die Tangente c, den Bogen 

 ?-j schneidet oder nicht schneidet. Verbindet man nämlich im ersten Falle mit 

 einem ß, naheliegenden Punkte von /?, mit einer Geraden, wird auch diese mit y^ 

 einen und nur einen Punkt gemein haben, und sie wird /?j nicht mehr schneiden 

 können weil sie mit der Verlängerung von ß^ einen ßj naheliegenden Punkt ge- 

 mein hat. Mit a kann die Gerade, weil sie durch geht, jedenfalls höchstens einen 

 Punkt gemein haben. Es ist aber aus dem Grunde unmöglich, dass sie einen Punkt 

 mit a gemein hat, weil sie eine paare Zahl von Punkten mit a-\-ß-^ + Ti gemein 

 haben muss. Es liegen desshalb a und ß^ auf verschiedenen Seiten von h^ und 

 also a und die Verlängerung von /?i über B^ auch auf verschiedenen Seiten von bj . 



ßj ist also auf der abgerundeten Curve ein Inflexionspunkt. 



Hat aber fo, keinen Punkt mit ;-, gemein, dann muss eine durch gehende 

 und bj naheliegende Gerade aus den eben erwähnten Gründen gleichzeitig einen 

 Punkt mit ß^ und mit a gemein haben, so dass a und ß^ auf derselben Seite von 

 fcj liegen, d. h. B^ ist ein innerer Punkt eines Elementarbogens. 



Die hier beschriebene Abrundung — von der wir im folgenden fortwährend 

 Gebrauch zu machen haben — besteht also in der Ersetzung zweier in einem Win- 

 kelpunkte A zusammenstossende Bögen /9, und;-; durch einen Bogen a. Alle diese 

 Bögen sind endlich, man hat nur dafür zu sorgen 1) dass die Gerade B^C^ mit ß^ 

 und j^ keine weitere Punkte als ß, und C^ gemein hat, 2) dass der Schnittpunkt 

 der Tangenten in ßj und Cj auf derselben Seite von B^C^ liegt wie der Win- 

 kelpunkt A, 'X) dass a die Bögen ß^ und ;-j bzw. in ß, und C^ berührt, keine weitere 

 Punkte mit ß^ und ;-, gemein hat, und endlich den Winkelpunkt nicht in seinem 

 Inneren enthält. 



Es sei nun P ein von A verschiedener Punkt und PA eine uneigentliche Tan- 

 gente in A. Man kann dann ß, und C, so nahe an A wählen, dass P nicht in 

 dem durch fc, und c^ begrenzten den Bogen a enthaltenden Winkelraume liegt. 

 Es wird deshalb eine und nur eine der Geraden Pß, und P(\ den Bogen a ausser- 

 halb ßj und C, schneiden, d. h. es geht durch P eine und nur eine Tangente an 

 a . Wenn also PA eine uneigentliche Tangente der ursprünglichen Kurve ist, kann 

 man immer die Abrundung so vornehmen, dass eine PA naheliegende Gerade eine 

 eigentliche Tangente der abgerundeten Kurve wird. Sind ferner « und ß zwei Bö- 

 gen, von welchen der eine in A, der andere in ß einen Winkelpunkt hat, und ist 

 die Gerade Aß sowohl in A wie in ß eine uneigentliche Tangente, sieht man in 

 ähnlicher Weise, dass man die Abrundung so vornehnen kann, dass eine Aß nahe- 

 liegende Gerade eine gemeinsame Tangente der abgerundeten Bögen « und ß wird. 



