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(1) Jede Elementar curve lässt sich aus einer endlichen Zahl von 

 Elementarbögen zusammensetzen'. 



Von einem bestimmten Punkte A der Kurve aus kann man nämlich in einem 

 bestimmten Sinne einen endlichen Elenientarbogen AM, absetzen; von M^ in dem- 

 selben Sinne einen ebensolchen M^M., u. s. \v. Entweder sind nun in dieser Weise 

 alle Punkte der Kurve mittels einer endlichen Zahl von Elementarbögen erreichbar 

 — denn ist ein Punkt B so erreichbar, dann ist auch jeder Punkt des Bogens AB 

 erreichbar — oder auch konvergieren die Punkte M^M, . . gegen einen Punkt Q. der 

 nicht in der genannten Weise erreichbar ist; jeder Punkt des Bogens AQ ist aber 

 erreichbar. Dies streitet aber gegen die Definition, infolge deren man immer einen 

 Punkt R des Bogens AQ so bestimmen kann, dass RQ ein Eleinentarbogen ist. 



Alle innere Punkte eines Elemenlarbogens nennen wir gewöhnliche Punkte 

 der Kurve. Alle nicht gewöhnliche oder singulare Punkte sind also nach S 2 

 entweder Spitzen oder Inflexionspunkte. Doch wollen wir auch die wie gewöhn- 

 lich definierten Doppelpunkte den singularen Punkten zurechnen. — Aus (1) 

 folgt nun: 



(2) Eine Elementarkurve kann zwar beliebig viele Spitzen und In- 

 flexionspunkte haben, aber die Zahl dieser Punkte muss immer end- 

 lich sein. 



Die Zahl der Doppelpunkte kann aber unendlich sein. 

 Aus (1) folgt weiter; 



(3) Eine Elementarkurve kann eine beliebig grosse aber immer nur 

 eine endliche Zahl von Punkten mit einer Geraden gemein haben. 



Die grösste Zahl der Punkte, die eine Gerade mit der Kurve gemein haben 

 kann, nennen wir die Realitätsordnung, oder kürzer die Ordnung der Kurve. 

 Dabei setzen wir voraus, das ein Berührungspunkt, der ein gewöhnliclier Kurven- 

 punkt ist, zweimal als Schnittpunkt mit der Tangente mitzurechnen ist, aber drei- 

 mal, wenn der Berührungspunkt ein Inflexionspunkt oder eine Dornspitze ist, und 

 viermals, wenn er eine Schnabelspilze ist. Der Grund dieser Verabredungen 

 ist der, dass man in den genannten Fällen noch S 2 immer eine der Tangente 

 naheliegende Gerade finden kann, welche in der genannten Zahl von Punkten 

 schneidet. Aus demselben Grunde rechnen wir auch, dass jede durch eine Spitze 

 A gehende Gerade, welche dort keine Tangente ist, mit der Kurve zwei in A zu- 

 sammenfallende Punkte gemein hat. 



Das reciproke Gebilde einer Elementarkurve ist wieder eine Elementarkurve. 



Man hat demnach : 

 (4) An eine Elementar kurve kann aus einem Punkte beliebig viele, 



aber immer nur eine endliche Zahl von Tangenten ausgeben. 



Die grösste Zahl der aus einem Punkte ausgehenden Tangenten nennen wir 



' Siehe J. H.ielmslrv, Om Grundlaget for Læren om simple Kurver, Nyt Tidsk. f. Math , 1907. 

 S. 61. 



