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die Reali tälsklasse oder kürzer die Klasse der Kurve. Wie hier zusammen- 

 fallende Tangenten zu rechnen sind, folgt aus dem vorigen. 



Wird eine E 1 e ni e n t a r k u r v e von einer Geraden paarmal — oder (5) 

 unpaarmal — geschnitlen, dann wird sie von jeder Geraden paar- 

 mal — oder unpaarmal — geschnitten. 



Dreht man nämlich eine Gerade / um einen ihrer Punkte, der aher weder auf 

 der Kurve noch auf einer Tangente zu einem singulären Kurvenpunkte liegt, können 

 Schnittpunkte von / mit der Kurve nur dann verschwinden oder neu auftreten, 

 wenn / entweder eine Tangente der Kurve oder eine Spitze derselben überschreitet. 

 Bei jedem solchen Übergange wird aber die Zahl der Schnittpunkte um + 2 oder 

 — 2 geändert. Mittels der genannten Drehung kann man jede Gerade in jede andere 

 allgemeiner Lage überführen. Besonders sind nur die Tangenten und die durch 

 eine Spitze gehenden Geraden zu betrachten. Hier sieht man aber leicht, dass die 

 oben in ,§ 2 gemachten Verabredungen den Satz allgemein gültig machen (auch 

 wenn die Kurve Winkelpunkte in endlicher Zahl enthält). 



Die Zahl der Wendetangenten einer Elementarkurve ist paar (6) 

 oder unpaar je nachdem die Ordnung der Kurve paar oder unpaar 

 ist. In diesem Satze rechnen wir die Tangente in einer Schnabelspitze den Wende- 

 langenten zu . 



Es durchlaufe ein Punkt P eine vollständige Gerade / von einer Anfangsstellung 

 Po aus; wir wählen die Gerade so, dass sie durch keinen Berührungspunkt einer 

 Wendetangente geht. Die Zahl der aus P gehenden Tangenten der Kurve kann sich 

 nur ändern, wenn entweder die Curve oder auch eine Wendetangente von P über- 

 schritten wird und dann jedesmal um 2. Weil aber, wenn P wieder in P„ ange- 

 langt ist, die Zahl der Tangenten die ursprüngliche wird, muss die Zahl der Punkte, 

 in welchen / von der Kurve und von den Wendetangenten geschnitten wird, immer 

 paar sein, woraus der Satz folgt. 



Dualislisch hat man; 



Die Zahl der Spitzen einer Kurve ist paar oder unpaar je nach- (7) 

 dem die Klasse der Kurve paar oder unpaar ist. 



Zwei Elenientarkurven können beliebig viele, auch unendlich viele Punkte 

 mit einander gemein haben. Man hat aber den v. Staudt'schen Satz: 



Haben zwei E 1 e m e n t a r k u r v e n , von denen wenigstens die eine (8) 

 paarer Ordnung ist, eine un paare Zahl von Punkten mit einander 

 gemein, dann müssen sie wenigstens noch einen Punkt mit einander 

 gemein haben. 



Man beweist diesen Salz wie den vorigen. Es seien die Kurven « und ß, 

 a paarer Ordnung. Es gehe durch einen fest gewählten Punkt P(, auf ß t Tangen- 

 ten an a. Man lässt nun einen Punkt P die ganze Kurve ß durchlaufen, und be- 

 nutzt, dass die Zahl der durch P„ gehenden Tangenten am Ende wieder t sein 

 muss. Die Kurve a hat nun eine endliche Zahl s von Wendetangenten (im obigen 

 Sinne), und es mögen beim Überschreiten dieser Geraden Sy Mal zwei Tangenten 



D. K. D, Vidensk. Selsk. Skr., 7. Række, natui\ idensk. og niatheni. Afd. XI. 2. 1' 



