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an a gewonnen, und s.^ Mal zwei Tangenten verloren werden. Ebenso möge beim 

 Überschreiten der Curven « q^ Mal zwei Tangenten an a gewonnen und q.^ Mal 

 zwei Tangenten verloren werden. Man hat dann: 



2si — 2s, +2qi — 2q,=0 

 oder Sj — Sj ^ q^j — 9i • 

 Weil nun nach (6) Sj -fsj eine paare Zahl ist, ist diese Gleichung unmöglich, 

 wenn q-^ + q^ unpaar ist. 



Ganz ebenso beweist man : 



(9) W e n n z w e i E 1 e m e n t a r k u r v e n u n p a a r e i- Ordnung eine p a a r e Z a h 1 

 von Punkten mit einander gemein haben, dann müssen sie wenig- 

 stens noch einen Punkt mit einander gemein haben. 



Beim Beweise ist vorausgesetzt, dass die Kurven einander nicht berühren und 

 dass ein singulärer Punkt kein gemeinsamer Punkl ist. Es ist leicht die früher 

 gemachten Verabredungen so zu erweitern dass der Satz auch in diesem Falle gilt; 

 ich unterlasse dies, indem ich den Satz im folgenden so spärlich wie möglich be- 

 nutzen werdet 



(10) Wenn eine völlig stetigeKurvevon jeder Tangente ausser indem 

 Berührungspunkte und von jeder durch eine Spitze gehenden Gera- 

 den ausser in diesem höchstens in n Punkten geschnitten wird, dann 

 ist die Ordnung der Kurve höchstens n + 2. 



Wenn nämlich eine Gerade ihre Lage in der Ebene stetig ändert z. B. durch 

 einen festen Punkt gehend, dann kann eine Änderung in der Zahl der Schnitt- 

 punkte mit der gegebenen Kurve nur dann eintreten, wenn die Gerade die Kurve 

 berührt, oder auch wenn sie durch eine Spitze geht. Er gilt der Satz selbstver- 

 ständlich auch, wenn die Kurve Winkelpunkle hat; man braucht dann nur auch 

 die durch einem Winkelpunkte gehenden uneigentlichen Tangenten mitzunehmen. 



Ebenso sieht man ferner, dass die Zahl der Punkte, die eine der im obigen 

 Satze hervorgehobenen Geraden mit der Kurve gemein hat, nur dann sich ändern 

 kann, wenn sie nochmal berührt oder nochmal durch eine Spitze (oder einen Win- 

 kelpunkt als uneigentliche Tangente) geht^'. 



Wir wollen noch auf die in Sj 2 besprochene Abrundung Bezug nehmen und- 

 beweisen : 



' Merkwürdigerweise sind die v. Staudt'schen Sclinittpuiiktssiitze ilirer Tragweite nacli — soweit 

 mir bekannt — nocli gar nicht untersucht worden. Die obige Formulierung ist ganz speciell; übrigens 

 sieht man leicht, dass man in dem gegebenen Beweise die eine der Kurven durch eine geschlossene 

 projektive Jordankurve endlicher Ordnung ersetzen kann, aber auch dies ist von der allgemeinsten 

 Form des Satzes weit entfernt. Ich bemerke noch, dass man aus einem solchen Satze leicht herleiten 

 könnte, dass eine beliebige geschlossene projective Jordankurve paarer Ordnung ohne Doppelpunkte die 

 projektive Ebene in zwei Gebiete trennt, was aber die Kurve unpaarer Ordnen nicht thut. Siehe: Ind- 

 ledning i Læren om de grafiske Kurver, K. D. Vidensk. Selsk. Skr. 1899, S. 28. 



- Wenn also eine in der Ebene beliebig gezeichnete Kurve (Elementarkurve) vorliegt, kann man 

 immer die Ordnung der Kurve mittels einer endlichen Zahl von Proben bestimmen. 



