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Durch eine Abrundung kann die Ordnung der Kurve niemals er (11) 

 erhöht werden. 



Durch eine Abrundung werden zwei Bögen AB = ß und AC ^ y durch einen 

 Klementarbogen /r ersetzt. Es l<ommt also darauf an zu zeigen, dass jede Gerade 

 /, welche einen oder auch zwei Punkte mit a gemein hat, bzw. wenigstens einen 

 oder auch zwei Punkte mit ß -^ y gemein haben muss. Wenn aber l einen und 

 nur einen Punkt mit a gemein hat, dann hat sie einen Punkt mit der endlichen 

 Strecke BC gemein und also auch einen mit dem einem oder dem anderen der 

 Strecken AB und AC. Die Gerade hat also entweder mit ß oder mit ;- einen Punkt 

 gemein, mit dem anderen oder 2 Punkte. 



Wenn aber / den Bogen <t in zwei Punkten schneidet, dann geht sie durch 

 einen inneren Punkt des durch a,ß und a begrenzten Gebietes und schneidet jede 

 der endlichen Strecken AB und AC, weil sie jedenfalls die Strecke BC nicht schnei- 

 det. Die Gerade / muss also in diesem Falle jeden der Bögen ß und ;- in einem 

 Punkte schneiden. 



Dagegen kann man im Allgemeinen nicht behaupten, dass die Ordnung einer 

 Kurve durch Abrundung nicht vermindert werden kann '. 



Hat eine völlig stetige geschlossene Kurve einen Doppelpunkt, kann man von 

 diesem Punkte aus die Kurve in zwei Pseudozweige teilen. Unter einen von 

 einem Doppelpunkte ausgehenden Pseudozweig werden wir den Teil der Kurve 

 verstehen, den ein Punkt durchläuft, wenn dieser in anfängt und stetig läuft, 

 bis er das erste Mal wieder in zurückkehrt. Der übrigbleibende Teil der Kurve 

 ist dann auch ein Pseudozweig; solche zwei Pseudozweige, die zusammen die ganze 

 Kurve ausmachen, nennen wir komplementäre. 



Wir wollen nun annehmen, dass die Tangenten in O getrennt sind, und dass 

 auf keinem der durch gehenden Kurvenbögen BOB' und COC ein Inflexions- 

 punkt ist; B und C mögen demselben Pseudozweig angehören. Ist nun auf diesem 

 Pseudozweige ein Winkelpunkt erster Art. dann bedeutet dies den Ausführungen 

 in S 2 zufolge, dass B und C so nahe an gewählt werden können, dass die Tan- 

 gente in B den Bogen OC und die Tangente in C den Bogen OB je in einem Punkte 

 schneidet. Weil aber BOB' und COC Elementarbögen sind, kann man B' und C 

 so nahe an wählen, dass auch die Tangente in B' den Bogen OC und also nicht 

 den Bogen OC, und ebenso die Tangente in C nicht den Bogen OB' schneidet. Es 

 wird desshalb den Definitionen in S 2 zufolge auf dem komplementären Pseudo- 

 zweig ein Winkelpunkt dritter Art sein. 



Ganz in derselben Weise sieht man, dass gleichzeitig auf beiden komplemen- 

 tären Zweigen ein Winkelpunkt zweiter Art sein wird, o: 



Ein Doppelpunkt mit getrennten Tangenten von denen keine (12) 

 eine Wendetangente ist, wird entweder auf dem einen von ausge- 

 henden Pseudozweig ein Winkelpunkt erster Art, und zugleich auf 



' Bei den im folgenden vorkommenden Beispielen von Abrundungen ist es jedoch cmchtlich, dass 

 die Ordnung der Kurve durch die Abrundung auch nicht vermindert wird. 



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