130 20 



dem komplementären ein Winkelpunkt dritter Art sein, oder auch 

 wird er auf beiden Zweigen zugleich ein Winkelpunkt zweiter 

 Art sein. 



Wir wollen noch den Fall in Betracht ziehen, dass auf dem Bogen BOB' aber 

 nicht auf COC ein Inflexionspunkt ist (Fig. 8 u. 9). Denken wir uns, dass BOC ein Win- 

 kelpunkt zweiter Art ist; dies bedeutet, dass entweder die Tangente in ß den Bogen 

 OC oder auch die Tangente in C den Bogen OB schneidet. Im ersten Fall wird 

 die Tangente in B' nicht den Bogen OC und also OC schneiden, und zugleich die 

 Tangente in C des Bogen OB nicht schneiden, aber den Bogen OB'. Der „kom- 

 plementäre Winkelpunkt" BOC ist also erster Art. In ganz ähnlicher Weise 

 sieht man, das im zweiten Falle der komplementäre Winkelpunkt dritter Art wird. 

 Man hat also : 

 (13) Schneiden sich zwei Bögen in einem Punkt 0, der auf einem 



(aber nur auf einem) der Bögen ein Inflexionspunkt ist, dann sind 

 von zwei komplementären Winkelpunkten der eine immer zweiter 

 Art, während der andere erster oder dritter Art sein kann. 



Erinnern wir uns, dass durch eine Abrundung zwei, ein oder keine Inflexions- 



punkte hervortreten je nachdem 

 n \ y^ der Winkelpunkt erster, zweiter 



oder dritter Art ist, dann sieht 

 man, dass Abrundung zweier kom- 

 plementärer Winkelpunkte immer 

 zwei neue Inflexionspunkte auf- 

 treten, wenn keine Tangente in 

 eine Wendetangente ist, dage- 



Fig. 8. 



gen ein oder drei, wenn der eine Tangente in eine Wendetangente ist. 



Wir wollen noch das Auftreten von neuen Inflexionspunkten untersuchen, so- 

 wohl wenn man die Winkelpunkte BOC und B'OC, sowie auch wenn man die 

 Winkelpunkte BOC und B'OC abrundet. Wir nennen dies die zwei komplemen- 

 tären Abrundungen der durch einen Doppelpunkt gehenden Bögen einer Elemen- 

 curve. Wenn kein Inflexionspunkt ist, haben wir schon gesehen, dass beide Ab- 

 rundungen zwei neue Inflexionspunkte geben. 



Nehmen wir nun den Fall, dass die Gerade, welche BOB' in berührt, eine 

 Wendetangente ist. Dann wird einer der Winkelpunkte BOC oder B'OC sowie 

 auch einer der Winkelpunkte BOC oder B'OC zweiter Art sein. Denken wir uns 

 z. B., dass BOC zweiter Art ist, während B'OC erster Art ist. Dann ist den frühe- 

 ren Definitionen' zufolge COB' ein Winkelpunkt zweiter Art und BOC dritter Art. 

 Daraus folgt, dass man, wenn man von der einen komplementären Abrundung zur 

 anderen übergeht, dabei entweder zwei naheliegende Inflexionspunkte gewinnen 

 oderj verlieren wird. 



Späterer Anwendungen wegen, — die jedoch in der vorliegenden Arbeit nicht 

 hervortreten, — bemerke ich noch folgendes: 



