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Liegt ein Bogen « einer Elenientarkuive einem anderen Bogen «j derart 

 nahe, dass die Tangenten in nahe liegenden Punkten auch nahe an einander liegen, 

 dann kann man sagen, dass die zwei Bögen völlig nahe an einander liegen. 

 Einer Wendetangente von « wird dann auch eine Wendetangente von «, nahe 

 liegen und umgekehrt. 



Betrachten wir nun wie in Fig. 8 u. 9 zwei Bögen BOB' und COC, welche einander 

 in schneiden, und nehmen wir die zwei komplementären Abrundungen vor. Es 

 entstehen dabei zwei Paare von völlig stetigen Bögen (von Elemenlarkurven) « und 

 ß durch die eine, aj und /9i durch die andere Abrundung. Liegen nun den Bögen 

 a, ß, y, o vier andere ebensolche Bögen «, , ß^, 7-j , d, völlig nahe an, dann wer- 

 den «j und /?, zusammen zwei nahe liegende Inflexionspunkte mehr oder we- 

 niger haben, als der Bögen j-j und o, zusammen. 



Wir wollen noch den altbekannten Satz nennen: 



Eine völlig stetige geschlossene Kurve ohne Spitzen und In flex- (14) 

 ionsp unkte sowie ohne Doppelpunkte und Doppeltangenten ist eine 

 Kurve zweiter Ordnung. 



Der einfachste von den von diesem Möbius'schen Satz gegebenen Beweisen 

 rührt meine Wissens von J. Hjelmslev her!" Aus dessen Beweis folgt aber, 

 dass es unnöthig ist die Nichtexistens von Doppeltangenten ausdrücklich zu postu- 

 lieren, so dass man hat: 



Eine völlig stetige geschlossene Kurve ohne Spitzen, Inflexions- (15) 

 punkte und Doppelpunkte ist eine Kurve zweiter Ordnung. 



Man könnte versuchen auch andere Singulaiitäten in dem Aussage des Satzes 

 auszulassen. Im Allgemeinen wird das freilich nicht möglich sein, wir werden 

 aber einen spezielleren — uns später nützlichen — Satz aufstellen, der in dieser 

 Richtung geht. Erst beweisen wir: 



Eine völlig stetige geschlossene Kurve ohne Spitzen, Doppel- (16) 

 punkte und Doppeltangenten, aber mit s Infle xion sp unkl en ist aus s 

 E I e m e n t a r b ö g e n zusammengesetzt. 



Die Bögen müssen in den Inflexionspunkten M^i , W., , Wj . . . zusammenstossen, 

 welche Punkte in der genannte Ordnung auf der Kurve liegen mögen. Er sei «j 

 derjenige Bogen Wj IV, , der W3 nicht enthält, «, der analog bestimmte Bogen 

 W, Wj u. s. w. Weil die Kurve keine Spitzen und keine Doppellangenten hat, 

 schneidet jede Tangente ausserhalb dem Berührungspunkte M die Kurve in gleich- 

 vielen Punkten P, , P.., , P, . . . Pr, und weil von diesen Punkten keine zwei zusam- 

 menfallen können, bleibt die Folge dieser Punkte unverändert, wenn M seine Lage 

 auf der Kurve ändert; diese Folge sei in einem bestimmten Sinne die angegebene, 

 wobei noch vorausgesetzt werde, dass in einem bestimmten Augenblick M zwischen 

 P, und P, liegt. Es sei M als ein beliebiger Punkt des Bogens Wj M',. = «,, ange- 

 nommen. Wenn nun P, auf dem Bogen M\\\ von «^ läge, dann müssten M und 

 Pi sich in demselben Sinne bewegen, weil sonst auf dem Bogen P,M von «r ein 

 ' Siehe: Nyt Tidsskrift f. Matli., 1907, .S. (U. 



