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neuer Inflexionspunkt auftreten würde'. Aber es ist auch nicht möglich, dass M 

 und Pi sich in demselben Sinne bewegen, denn in der unmittelbaren Nähe von W^ 

 ist dieses nicht der Fall. Ebenso kann die Tangente m in M auch nicht den Bogen 

 MWr von «r schneiden. Weil also keine Tangente von «/, diesen Bogen schneiden 

 kann, ist (/,. ein Elementarbogen (siehe Seite 12). Dasselbe gilt den übrigen 

 Bögen «. 



(17) Wir können nun beweisen: 



Eine völlig stetige und geschlossene Kurve ohne Doppelpunkte, 

 Doppeltangenten und Spitzen kann nicht eine paare Zahl von In- 

 fi exionspunkten haben. 



Es habe die Kurve s Inflexionspunkte W^ , W^ ■ . .Wg. Dem obigen zufolge ist 

 die Kurve aus s Elementarbögen zusammengesetzt. Wir gebrauchen dieselben Be- 

 zeichnungen wie im Beweise des vorigen Satzes, so dass M, Pj , P, . . . P, auf den 

 Kurve eine Folge bilden. Wenn nun M sich auf «,. gegen \\\ in einem bestimmten 

 Sinne bewegt, dann muss — weil zwischen M und W^ kein Inflexionspunkt liegt — 

 auch Pj sich in einem bestimmten Sinne bewegen, und dieser muss dem Sinne von 

 M entgegengesetzt sein, weil das in der unmittelbaren Nähe an W^ der Fall ist. 

 Wenn M durch \\\ auf den Bogen a^ übergehl, dann bleibt der Bewegungssinn von 

 M unverändert, während der Sinn jedes Punktes P wechselt. Man sieht nun ganz 

 wie oben, dass jetzt d. h. wenn M sich auf «j von Wj nach Wo bewegt, dann M 

 und Po sich in entgegengesetzten Sinne bewegen müssen. Daraus folgt aber, dass 

 beim ersten Teil der Bewegung, d. h. während M sich auf «^ von W,. nach ]\\ 

 bewegte, dann M und P, sich in entgegengesetzten Sinnen bewegen müssen. Die 

 Fortsetzung der Schlüsse zeigt, dass P^ , P^, P.^ . . . sich alle in entgegengesetzten Sinne 

 von M, während P, , P^ , P^ ■■ ■ sich alle in demselben Sinne wie M bewegen 

 müssen. Wenn also s paar ist, dann wird M und P,, sich in demselben Sinne be- 

 wegen. Das ist aber eben dem obigen zufolge unmöglich, denn M und P« folgen 

 ebensowohl auf einander wie M und P, (wenn man den positiven Sinn der Kurve 

 mit dem entgegengesetzten umtauscht). Es kann also s nicht paar sein. 



Hieraus folgt endlich: 



(18) Eine geschlossene und völlig stetigeKurvepaarerOrdnungoline 

 Doppeltangenten, Doppelpunkte und Spitzen kann nur eine Kurve 

 zweiter Ordnung sein. 



Eine paare Kurve kann nicht eine unpaare Zahl von Inflexionspunkten haben. 

 Wenn man also im Voraus weiss, dass die Kurve paar ist, dann braucht man das 

 Nichtvorhandensein von Inflexionspunkten in dem Möbius'schen Satze nicht aus- 

 drücklich zu postulieren. 



' Hier gebrauchen wir freilich den einfachen Korrespondenzsatz, den wir erst als (A) in § 4, Seite 

 23 formulieren. 



