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§ 4. 

 Das elementare Korrespondenzprinzip. 



Um die reelle Eksistenz gewisser Punkte fest zu stellen benutzen wir durch- 

 gehend den folgenden Satz: 



A. Entspricht jedem Punkt Ä' eines endlichen oder unendlichen 

 Stückes MN einer Geraden ein und nur ein Punkt eines Stückes PQ 

 derselben Geraden, und durchlaufen korrespondierende Punkte X 

 und }' gleichzeitig stetig die Stücke MN und PQ , die Endpunkte mit- 

 gerechnet, in entgegengesetzten Richtungen, dann giebt es, wenn MN 

 und PQ einander trennen, auf MN (und auf PQ) ein u n d n u r e i n P u n k t , 

 wo X und 1' zusammen fa lien . 



Dieser Satz, die einfachste Form des , elementaren Korrespondenzsatzes, ist 

 nichts anders als eine geometrische Formulierung eines Hauptsatzes über stetige 

 Funktionen. 



Weil MN und PQ einander trennen, kann man nämlich immer einen Punkt der 

 Geraden finden, der weder auf MA' noch auf PQ liegt. Man kann deshalb — jedenfalls 

 nach Ausführung einer Kollineation — davon ausgehen, dass die Stücke MN und 

 PQ beide endlich sind. Es seien nun x und y die Abscissen von X und Y, und 

 es sei der positive Sinn so gewählt, dass x wächst, wenn A' von M nach N geht. 

 Es seien x^, y, , a-, , j/, die Abscissen von bzw. M, P, N, Q. Man hat dann 

 a;i<a;2, J/i > {/2 > sowie auch Xj < i/i , a;, ^ {/a • Wir nehmen nun x, y als Ko- 

 ordinaten in einem rechtwinkligen System an; {x;y) bewegt sich dann, wenn A' 

 von M nach N geht, auf einem stetigen Bogen von (x,;j/i) nach (X2;y2)- Diese 

 zwei Punkte liegen aber auf verschiedenen Seiten der Geraden y=x, und der Bo- 

 gen wird deshalb dieselbe in einem und — weil y = f{x) eine abnehmende oder 

 wenigstens nirgends wachsende F"unktion ist ^ nur in einem Punkte schneiden. 



Für uns im folgenden ist nun die nachstehende Erweiterung von {A) von 

 wesentlicher Bedeutung. 



B. Es seien auf einer im projectiven Sinne geschlossenen Curve, 

 die sich ein-eindeutig auf einem Kreis abbilden lässt, Punkte A'und 

 y so überall stetig von einander abhängig, dass jedem Punkte der 

 Kurve als ein Punkt X — oder V' — aufgefasst p — oder q — getrennte 

 Punkt Y — oder X — entsprechen; es bewege sich ferner überall ein 

 Punkt X — oder Y — innerhalb eines endlichen wenn auch noch so 

 kleinen Gebietes in einem bestimmten Sinne, wenn der entsprech- 

 ende es thut. Setzt man nun noch voraus, dass in irgend einer Stel- 

 lung ein Punkt A' mit irgend einem seiner entsprechenden ungleich- 

 sinnig läuft, dann giebt es p -^ q Punkte in welchen ein Punkt X mit 

 einem entsprechenden Punkte Y zusammenfallen wird. 



Wir wollen erstens zeigen, dass jeder Punkt Y, der einem in einem bestimmten 

 Sinne laufenden Punkt X entspricht, in einem bestimmten Sinne laufen muss. Es 



